刘稳殿+韩占中
摘 要:通过对2017年9月百校联盟数学(文)的一道三角函数求值题进行研究探讨,发现本题当中所给的两个条件互相矛盾,如果已知tanB=ktanA(k≠0),那么cosAsinB的值必须受到k的限制,否则题中的条件就会相互矛盾,导致本题无意义。
关键词:问题题目;tanB=ktanA(k≠0);cosAsinB的值;限制;矛盾
试卷讲评是高三复习的一种重要课型,在讲解试卷的时候,认真分析每个题,思考多种解法,进行简单变形,思考考查的知识点与方法,思考出题的意图与出题方法……是教师备试卷讲评课的基本内容。在高三频繁的考试中难免遇到“问题题目”,如果对“问题题目”加以剖析,进行加工,那么“问题题目”所呈现出的意义远大于题目本身的意义。下面探讨2017年9月百校联盟数学(文)选择题第7题。
原题:已知tanB=2tanA,且cosAsinB=45,则cos(A-B-3π2)=( )
A. -45
B. 45
C. -25
D. 25
给出的参考答案如下:
依题意,sinBcosB=2sinAcosA,故sinBcosA=2sinAcosB,故sinAcosB=25,则
cos(A-B-3π2)=-sin(A-B)=-sinAcosB+cosAsinB=25,
故,选D。
单独看本题的解题思路是毫无破绽的,但是仔细推敲会发现:
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=25+45=65>1与-1≤sin(A+B)≤1矛盾。
问题出在哪?
假设1:设tanB=ktanA(k>0)且cosAsinB=a,则k与a有什么关系呢?
由tanB=ktanA(k>0)得到:sinBcosA=ksinAcosB,故sinAcosB=ak,从而有:
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=a+ak=a(k+1)k (1)
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=ak-a=a(1-k)k (2)
要使(1)(2)两式同时有意义,则必须满足:
-1≤sin(A+B)≤1
-1≤sin(A-B)≤1即-1≤a(k+1)k≤1
-1≤a(1-k)k≤1
当k=1时,得-12≤a≤12
当k≠1时,得:|a|≤kk+1
|a|≤|k1-k|
又因为kk+1<|k1-k|,所以|a|≤kk+1
本題中k=2>0,那么a应该满足|a|≤kk+1,即|a|≤23,即a∈[-23,23],而题中给的a=45,显然45[-23,23],故本题中给的两个条件是矛盾的,即条件不能成立。
假设2:设tanB=ktanA(k<0)且cosAsinB=a,则k与a有什么关系呢?
与假设1同理有:
-1≤sin(A+B)≤1
-1≤sin(A-B)≤1即-1≤a(k+1)k≤1
-1≤a(1-k)k≤1
当k=-1时,得-12≤a≤12,
当k≠-1时,得:|a|≤|kk+1|
|a|≤kk-1
又因为|kk+1|>kk-1,所以|a|≤kk-1
结论:设tanB=ktanA(k≠0)且cosAsinB=a,则k与a有如下关系:
当k=±1时,-12≤a≤12;当k>0且k≠1时,|a|≤kk+1;当k<0且k≠-1时,|a|≤kk-1。
通过对该问题的分析,我们不仅得出了k与a的关系,而且体现了分类讨论思想,除考查三角函数相关知识外,还考查了不等式解法。我们在讲解及编写习题的时候,要深入分析条件之间的隐含关系,避免题目当中所给条件互相矛盾。
作者简介:
刘稳殿,韩占中,陕西省安康市,白河高级中学。endprint