扩展有限元与遗传算法相结合的结构缺陷反演分析1)

王佳萍 杜成斌 江守燕

(河海大学工程力学系，南京211100)

扩展有限元与遗传算法相结合的结构缺陷反演分析1)

王佳萍2)杜成斌3)江守燕

(河海大学工程力学系，南京211100)

建立扩展有限元法与遗传算法相结合的结构缺陷反演分析模型.扩展有限元法通过引入不连续位移模式使得网格剖分无需依赖结构内部的不连续界面.通过改变水平集函数表征结构缺陷(夹杂)的位置和大小，遗传算法在每次迭代过程中具有全局和局部搜索能力，通过评估响应测点的响应量适应度值决定是否进一步迭代.对带有单个圆形缺陷(夹杂)和多个缺陷(夹杂)的结构进行了反演分析，并就响应测点的布置进行了讨论.结果表明,建立的反演分析模型能准确地探测结构存在的单个甚至多个缺陷(夹杂).

反分析，扩展有限元法，遗传算法，响应测点，缺陷

扩展有限元法[1]是基于单位分解理论[23]对有限元法的扩展，扩展有限元法能够就具体问题的需要来选择特殊的富集函数构建位移场，并通过水平集方法描述不连续边界，使得位移场近似函数的形式可以独立于网格的划分，避免了反分析迭代过程中的网格重剖分，为包含孔洞、夹杂等缺陷的结构仿真模拟提供了新的有效途径[45].

基于现场实测(实验)数据的反演结构参数在实际工程评估、工程结构设计中越来越得到重视.文献[6]利用光纤光栅传感技术，在现场对大管桩在外载作用下的变形情况进行了测试，根据测试结果，利用数值法反分析得到大管桩力学性能参数.文献[7]利用测量得到的夯沉量等数据，反算地层的变形模量.反分析法是一种缺陷量化法[8]，它是基于有关的实际测试数据，通过建立有效的反演分析模型，在不破坏结构本身的前提下检测识别出结构内部缺陷(夹杂)的位置、尺寸和类型等参数，通常来说包括正分析和目标函数极小化迭代过程两部分.目标函数的极小化迭代需要运用智能优化算法，如遗传算法[8]、人工蜂群算法[9]等.遗传算法是一类借鉴生物界的进化规律演化而来的随机搜索算法，遗传算法具有良好的全局搜索能力，可以快速地将解空间中的全体解搜索出来而不致陷入局部最优解的快速下降陷阱.利用遗传算法的内在并行性，可以有效地进行分布式计算，加快求解速度.遗传算法与扩展有限元法的结合可以有效地减少反演分析的计算工作量.在国外，有人基于扩展有限元法和遗传算法提出了一种裂纹反演识别的数值方法[10]；另外，还有人结合扩展有限元法和遗传算法反演识别出线弹性结构内各种类型的缺陷，包括直裂纹、圆形孔洞及不规则形孔洞等[11].在国内的相关研究中[12]，也有人利用扩展有限元法和人工蜂群算法反演识别出线弹性结构内各种类型的单缺陷(夹杂).

本文结合扩展有限元法和遗传算法的各自特点，探讨研究结构内部缺陷 (夹杂)反演的新途径.文中给出了运用扩展有限元法反演结构内部圆形、椭圆形缺陷 (夹杂)时位移模式的构建以及水平集函数的表征.阐述了遗传算法的运行方案以及基于扩展有限元法和遗传算法的结构内部缺陷(夹杂)的反演分析流程.最后通过算例验证建立的反演分析模型能够准确检测出结构内部单个(多个)圆形缺陷(夹杂)，并就响应测点的布置方案进行了分析讨论.

1 基于扩展有限元法的反分析问题的求解思路

反分析法提供了一种量化缺陷的数值方法，比如确定缺陷尺寸、形状、方向等.如图1所示，反分析问题可以描述为在已知外载荷¯t、外边界¯u、结构体D的基础上，寻找正分析问题所需的孔洞边界Γc和夹杂边界Γh.

图1 含缺陷(夹杂)的结构体

算法上，这个问题可以看成是一系列参数θi的最优估计，这些参数是用来描述夹杂Γc和孔洞Γh的，参数模型可通过下列一组向量表示为

式中，n表示待反演的参数个数.本文着重反演圆形、椭圆形孔洞(夹杂).单个圆形孔洞(夹杂)的反演参数为

式中，rc是圆的半径，(xc,yc)是圆心坐标.

单个椭圆形夹杂(孔洞)的反演参数为

式中，(xc,yc)是椭圆中心点的坐标,a是椭圆长半轴,b是椭圆短半轴,β是方位角，即局部坐标系与整体坐标系之间的夹角.具体操作如下

寻找 θi∈ Γc(或 θi∈ Γh)使得

式中，n是与缺陷(夹杂)对应的参数个数.目标函数建立在一系列真实响应测点值的基础上，其表达式为

2 扩展有限元法简介

2.1 位移模式

扩展有限元法通过引入非连续位移模式使得不连续位移场的描述可以独立于网格的划分，与水平集法的结合，使得材料内部任意复杂界面的描述成为可能.考虑n维空间中求解域Ω∈Rn的离散，I为域内所有结点的集合，I∗为所有改进结点的集合，且I∗⊂I.常规扩展有限元法位移模式可表示为

式中，ui为常规有限元结点 i处的位移未知量；Ni(x)为与结点 i对应的常规有限元的插值形函数；ψi(x)为扩展有限元法的改进函数；ai为结点i的改进位移未知量；为单位分解函数，其形式可以和Ni(x)相同，也可以不同，文中取两者相同，需满足下列关系

对于被孔洞边界切割的单元，单元的结点可以通过函数 V(x)进行改进，若结点位于孔洞内，V(x)=0，否则V(x)=1.对于被夹杂边界切割的单元，这些单元的结点可以通过修正改进函数ψi(x)进行改进[2]

式中，φi为结点的水平集，Ni(x)为常规有限元的插值形函数.上式表达的改进函数在混合单元处，ψi(x)=0，即扩展有限元方法的位移模式中改进项消失，因此，它规避了常规单元与改进单元之间的协调问题.

2.2 水平集法

结构内部不规则的孔洞 (夹杂)在反演分析时可采用规则的圆形或椭圆形孔洞 (夹杂)进行最佳拟合.圆形孔洞(夹杂)的水平集函数可以表示为[2]

式中，xc为圆形界面的圆心坐标；rc为圆形界面的半径.对于含多个圆形界面的二维求解域，水平集函数可以表示为

椭圆形孔洞(夹杂)的水平集函数可以表示为[2]

式中，(xc,yc)表示椭圆的中心坐标,a表示椭圆的长半轴,b表示椭圆的短半轴,β表示椭圆的方向角，以逆时针为正，β ∈[−π,π].

由于扩展有限元方法不需要按照材料的界面来划分网格，因此，在求解单元劲度矩阵和载荷列阵时需采用分区域积分法进行求解.具体不连续单元的数值积分的处理方法见文献[12].

3 遗传算法

遗传算法的基本原理是根据它们对环境的适应能力来决定生长趋势的，适应度强弱是通过计算适应度函数的值来判别的，这个值称为适应度值.适应度函数的构成与目标函数有着密切的关系，文中的适应度函数是目标函数的倒数.

遗传算法实施的基本步骤如下：

(1)随机生成 N 个初始参数，即可行解矩阵[θ1,θ2,···,θN]T，某个随机可行解参数为

式中，j 取值 {1,2,···,N}；i取值 {1,2,···,n}，为n维解向量的某个分量；是(0,1)之间的随机生成数；和为随机可行解参数的下限值和上限值.

(2)对N个初始参数模型进行适应度值计算.适应度函数f(θ)与目标函数O(θ)的关系为

遗传算法的具体执行过程分为两个阶段.首先考虑从初始模型到中间模型的建立.在选择阶段之前，计算出所有现有参数模型的其中 fi表示第i个参数模型的适应度值，表示所有参数模型的平均适应度值.根据比值的整数部分确定这个参数模型在中间模型中要复制的份数.其次,中间模型的选择阶段完成以后，进行重组和随机突变.

4 数值算例

4.1 单个圆形夹杂在不同响应测点布置下的反演分析

如图 2所示为含单个圆形夹杂的正方形板(L=2m)，板一边受约束以消除刚体位移，一边受水平向拉伸载荷P=1.0MPa的作用.图3所示为其有限元网格图，单元数为9283，结点数为9440.用扩展有限元方法计算时，方形板被离散成39×39的均匀网格(图4所示)，本例是弹性薄板，假设板处于平面应力状态.材料种类有2种：基体和夹杂.基体的弹性模量为E=22GPa，泊松比ν=0.167；夹杂的弹性模量为E=55GPa，泊松比ν=0.3.首先，需要验证文中建立的反演分析法是否能正确反映真实的缺陷 (夹杂)信息，于是对方案①进行了分析.通过分析响应测点所测得的位移响应，反演得到结构内部的缺陷信息，结果见表 1.到 25次迭代为止，已基本可反演出参数值.

图2 单侧受拉板的计算简图

图3 有限元计算模型

如图4所示，建立了5种响应测点的分布方案①、②、③、④、⑤，通过Fortran程序的反演分析，寻找到最优的响应测点布置方案，使得夹杂信息更快更准确地收敛.

图4 响应测点的布置方案

反演分析中结构的响应值在文中均通过商业有限元软件ABAQUS计算获取.

本例的所有结果均是在适应度值为105量级以上得到的.算例中，圆形夹杂有3个待反演的参数，分别是圆的半径rc和圆心坐标(xc,yc)，如表1所示.待反演参数的限值为rc∈[0.05,0.4]，xc∈[0.2,1.8]，yc∈[0.2,1.8].反演分析时，任意生成N=200组初始参数模型，最大迭代次数Niter=500.方案①的响应测点采用了全局布置法，考虑到方形板左边受约束，在实际情况中的响应测点既不好布置也可能对适应度值的反映不灵敏.于是，结构左边并未布置响应测点，迭代结果如表1.

表1 圆形夹杂的反演结果

方案②、③、④未采取全局布置法，而是采用了对称分布，分别是 8、6、4个响应测点的对称分布.从表1的反演结果可以看出，这三种布置方案的迭代效果都不错，但是响应测点布置得越多相对来说反演的速度也越快，需要的迭代次数越少.方案⑤的收敛效果较差，与真实值有一定差距.前4种响应测点分布方案里①、②最优，②的反演过程见图5.

图5 方案②夹杂的反演过程

4.2 多夹杂在特定响应测点布置下的反演分析

如图6所示为含3个圆形夹杂的单侧受拉方形板，圆形夹杂的位置未知，模型尺寸和外部条件同上例.从算例1得出，响应测点的布置方案①、②最优，这里采用方案①.

图6 含3个圆形夹杂的单侧受拉板的计算简图

本例中，共有9个待反演的参数，每个圆形夹杂有3个待反演参数，分别是圆的半径rc和圆心坐标(xc,yc).待反演参数的限值均为rc∈[0.05,0.4]，xc∈[0.2,1.8]，yc∈[0.2,1.8].反演分析时，任意生成N=200组初始参数模型，最大迭代次数Niter=500.注意，本例中的水平集需要用含多个圆形界面的水平集函数表示(式(10)).

表2为结构含 3个圆形夹杂情况下的反演结果，前期的迭代效率较慢，到167次迭代达到最优解.

表2 结构含三个圆形夹杂情况下的反演结果

如图7所示，给出了3个圆形夹杂的反演过程.相比于单缺陷的反演，因迭代参数的增多，迭代收敛速度相对较慢.

图7 三个圆形夹杂的反演过程

5 结论

本文结合扩展有限元方法和遗传算法反演结构内部未知的单个圆形和多个圆形缺陷(夹杂)的位置及大小.扩展有限元方法有效避免了常规有限元网格的重剖分，大大减少了计算量；遗传算法提供了一种快速搜索的方法，它能够在每一次的迭代过程中同时用到全局和局部搜索，这大大增加了找到可行解的概率.此外，文中对结构响应测点的布置方案进行了研究.算例分析表明：建立的反演分析模型能准确地探测出结构内部存在的圆形缺陷(夹杂)；响应测点的数目对收敛速率影响很大，测点数越多，收敛越快.

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5 Melenk JM,Babu˘ska I.The partition of unity finite element method:basic theory and applications.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,1996,139(1-4):289-314

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10 Rabinovich D,Givoli D,Vigdergauz S.XFEM-based crack detection scheme using a genetic algorithm.International Journal for Numerical Methods in Engineering,2007,71(9):1051-1080

11 Waisman H,Chatzi E,Smyth AW.Detection and quantification of flaws in structures by the extended finite element method and genetic algorithms.International Journal for Numerical Methods in Engineering,2010,82(3):303-328

12江守燕，杜成斌.基于扩展有限元的结构内部缺陷(夹杂)的反演分析模型.力学学报,2015,47(6):1037-1045

THE INVERSE ANALYSIS OF INTERNAL DEFECTS(INCLUSIONS)IN STRUCTURES USING A COMBINED XFEM AND GA METHOD1)

WANG Jiaping2)DU Chengbin3)JIANG Shouyan
(Department of Engineering Mechanics,Hohai University,Nanjing 211100,China)

An inverse analysis model for identifying internal defects(inclusions)in the structure using a combined method of the extended finite element method(XFEM)and the genetic algorithm(GA)is proposed.The discontinuous displacement mode introduced in the displacement function of the XFEM makes it possible to generate a grid independent of the discontinuous interface of the structure.The locations and the size of defects are determined by a modification of the level set function in the study.The GA has a global and local optimization ability in each iteration process.The fitness value of the response determines whether the iteration should continue or not.Two numerical examples including a single circular defect and multiple defects are analyzed,and the locations of the response measuring points in the structure are also discussed.Results indicate that the inversion model presented in the paper can accurately identify the locations and the size of a single defect or multiple defects in the structure.

inverse analysis,extended finite element method,genetic algorithm,response measuring point,defects

O302

A

10.6052/1000-0879-17-176

2017–05–26收到第1稿，2017–09–22 收到修改稿.

1)国家自然科学基金(51579084,11372098,11132003)和江苏省水利科技基金(2015030,2016017)资助项目.

2)王佳萍，硕士，主要研究方向为工程结构反分析研究.E-mail：1053506531@qq.com

3)杜成斌，教授，主要研究方向为水工结构中力学问题研究.E-mail:cbdu@hhu.edu.cn

王佳萍,杜成斌,江守燕.扩展有限元与遗传算法相结合的结构缺陷反演分析.力学与实践,2017,39(6):591-596

Wang Jiaping,Du Chengbin,Jiang Shouyan.The inverse analysis of internal defects(inclusions)in structures using a combined XFEM and GA method.Mechanics in Engineering,2017,39(6):591-596

(责任编辑:周冬冬)