巧借数轴 提升数感

陈险峰

数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识。数轴则是数的集合，它具有方向性、区间性、等分性、无限性的特性。笔者利用数轴的特性辅助教学，化复杂为简单，化抽象为直观，能有效地增强学生的数感，巧妙解决数学问题，渗透一一对应、数形结合等数学思想。

一、点段结合，理解数的意义

（一）利用数轴明确数的分类

数轴是数的集合，每个数在数轴上都有自己对应的点，即一一对应。教师可以在数轴上再现这些数所对应的点，用数形结合帮助学生明确数的分类，感悟数的集合。

例如，正数、负数、0的分类。通过数轴发现：0是正数与负数的分界线，0既不是正数，也不是负数，负数都小于0，正数都大于0，没有最小的负数，也没有最大的正数。在数轴上，从左往右数越来越大，从右往左则数越来越小；+2和―2，+5和―5，……都是关于原点对称的。（图1）数轴上的点形成一个又一个区间，利用数轴的区间特性，教师可以引导学生对真分数、假分数、带分数进行分类，大于0小于1的分数是真分数，等于1或者大于1的数是假分数；能化成整数的假分数，在数轴上是一个个表示整数的点；不能化成整数的假分数，在数轴上处在两个整数之间的区间。类似的，我们也可以对小数分类。

（二）利用数轴发现数的性质

教师可以让学生在数轴上依次表示 、 、 、 ……学生发现： = = =……（图2）单位“1”平均分的份数和所取的份数同时扩大或缩小相同的倍数，也就是分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。它们的大小相等，但是分数单位不相同。借助数轴，学生对分数基本性质的理解将更为深刻。同理，也可以用数轴梳理小数的基本性质。

又如，小数点的移动，能引起小数的大小变化。利用数轴，可以巧妙、直观地呈现点的移动，数的大小变化规律。教师引导学生在数轴上依次找出0.2、0.02、0.002……要找到这些数，必须将0～1这个单位长度依次平均分成10份、100份、1000份……如果要在数轴上找出2、20、200……则需要将0～1这个单位长度依次扩大10倍、100倍、1000倍……学生借助数轴进一步深入认识了小数点移动引起小数大小变化的规律。

利用数轴，我们还可以渗透十进制知识，理解计数单位的进率；可以梳理数的大小比较的规律；可以沟通整数、小数、分数之间的联系和区别。充分挖掘数轴的价值，能帮助学生建立良好的数概念网络结构，建立起数字、数量及与之关联的运算特性，并自觉地选择灵活而有创造性的方式从数字、数量角度去思考和解决问题。随着数概念的不断扩大，这种优越性会不断得到显现。

二、数形结合，巧妙解决问题

解决问题有利于学生理解、运用和巩固已学的数学知识，又有利于发现新的规律和方法，是形成和发展数感的一种重要手段。数轴上的数从小到大地排列，形成一段一段的区间。教师充分利用数轴的区间性与等分性，可以巧妙地解决许多数学问题。

（一）解决分数中的数学问题。

借助数轴线段图，能帮助学生进一步明确数量之间的关系，学会用数学的方法理解和解释实际问题。

例如，教学人教版六上第8页“分数乘法解决问题”例5。教师引导学生在理解题意的基础上画出数轴线段图分析数量关系（图3）。

学生借助数轴线段图，直观地理解了“松鼠的尾巴长度占身体长度的 ”，要求松鼠尾巴的长度，就相当于求身体长度的 ，即身体长度× =松鼠尾巴的长度。之后，学生也能顺利地用“比较量÷它所对应的分率=标准量”解决分数除法的实际问题。

（二）解决分段计费问题

例如，教学人教版五上第16页例9。学生尝试计算出租车分别行驶1 km、2.6 km、3 km、3.7 km、4.8 km、6.1 km、6.9 km的总费用。师生在互动中研究：①像行驶1 km、2.6 km、3 km这样，里程在3km以内的都是收7元，这称作“基础部分的费用”。②像3.7 km的要分成两段收费，前面的3km应收7元，后面还有0.7 km要按

1 km算，收取1.5元，列式是7+（3.7-3）×1.5≈7+1×1.5=8.5（元）。③ 超过3 km的，不足1 km的部分都按1 km计算，用超出的千米数取整后乘1.5算出超出部分的费用，再和基础部分的7元相加，算出总费用，即基础部分的费用+超出部分的费用=总费用。（图4）

数轴数形结合，架设起数与量之间的桥梁，借助数轴，有利于学生理解收费规则，学会分段计费，化难为易。学生经历数学思考，潜移默化地形成和发展了数感。

三、虚实结合，渗透数学思想

数轴具有无限延展性，在数轴上找不到最大的数，也找不到最小的数，它是趋近无穷的。利用这个特性，我们可以解决一些规律性问题，并有机地渗透极限思想。

例如，人教版六下第75页找规律填数问题：练习十四，7（1）0.9，0.99，0.999，0.9999，（？摇？摇），……，这列数的每一项越来越大，越来越接近（？摇？摇）。教师引导学生将这些数依次标注到数轴上，学生会发现，需要将单位“1”依次平均分成10份、100份、1000份……而0.9、0.99、0.999……变得越来越难以记录，后一个数总是在前一个数的右面，越来越接近1。

又如人教版六下第75页。练习十四，8. 比较 、 、 、 的大小。你能发现什么？根據你发现的规律，猜一下 与 哪个更大，并进行验证。教师引导学生将问题放到数轴上去探索。学生发现，越往下写数越来越大，越来越接近1（如图5）。教师追问：“像这样，你能不能写出一个尽可能大的数？”

极限思想是用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势，小学生的思维以形象思维为主，我们借助数轴，通过构造直观的几何图形，将一一对应思想、数形结合思想与极限思想共同应用，相互渗透，学生的理解和感受变得生动、深刻且令人信服。

数轴是联系数字与计数最有效的图形之一，因其直观，更贴近学生的认知，教师巧用数轴教学，有利于帮助学生深入理解数的特性，有利于培养学生的数学核心素养。

（作者单位：福建省厦门市前埔北区小学？摇？摇责任编辑：王彬）endprint