借助直观 表征思维

葛素儿

【编者按】几何直观，《义务教育数学课程标准（2011）》中的核心词汇之一，一线教师在实际教学中时常能够接触到。作为能够帮助学生理解数学的重要手段，广大教师对其内涵外延的理解程度，关系到教学效果的提升。本期围绕“透视几何直观本意，助力学生理解数学”话题，展示教师的教学经验与成果。

笔者认为，几何直观是一种可视化的思维方式，其思维核心是表征，将抽象的数学概念、结构关系、思想方法、解题策略等直观揭示或表征出来。它具有双重属性：一是一种思维形式，学生的思维形式经历动作表征、图形直观（表征）、符号表征三个阶段。二是一种解题策略，是研究数学问题并实现问题的模型转换的一种基本思想和基本方法。在小学数学学习中，学生除了用规范的几何图形表达数学思维以外，更多地使用他们独有的图形符号系统。

几何直观事实上是借助于可视化工具进行的可视化学习过程（图1）。如何基于几何直观展开教学呢？笔者就以“分数的基本性质”教学来谈谈自己的一些具体做法。

一、关注可视化工具的運用：借助怎样的直观图示表征知识

可视化工具是几何直观的重要载体。借助可视化工具，可以使教学变“被动”为“主动”，变“抽象”为“形象”，从“形式”走向“本质”。

1. 现行六套教材直观图示的比较。

在分数的基本性质教学中，笔者研读了现行人教版、浙教版、北师大版等六套教材，发现各版本的教材设计都凸显了“几何直观”这一元素，通常借助于以下直观图示：实物图、面积模型（长方形、正方形、圆平均分成几份）、数线模型（半抽象线段模型）、线段模型（数轴雏形）等。

通过比较，笔者发现所有版本的教材，都注重直观模型的提供，鼓励学生从直观角度，主动地观察和发现，在讨论交流的基础上认识分数的基本性质。其中，浙教版、北师大版和青岛版出现了数线这样的半抽象线段模型，北师大版教材亦出现抽象的线段模型。

2. 合理运用直观图示，让知识可视化。

实物模型、面积模型、数线模型等都是分数教学的主要直观图示，在分数基本性质教学中，面积模型、数线模型等在学习中的地位更重要。面积模型是指用面积的“部分—整体”表示分数。数线模型与分数的面积模型有着密切的联系：一个分数可以表示单位面积的一部分，也可表示单位长度的一部分，前者是二维的面，后者是趋近一维的线。可以说，数线模型其实是数轴的前身，是用点来刻画分数。

分数的基本性质起着“承上启下”的作用，其核心在于分数单位。基于量的守恒，聚焦分数单位，在度量中寻找等值分数，可能会使教学豁然开朗。在这个过程中，一个重要的几何载体即线段模型应发挥作用。各版本的教材比较中，浙教版、青岛版及北师大版均出现了半抽象或抽象的线段模型。笔者认为，在新知探究环节，半抽象的数线模型应占据重要的地位；在知识应用环节，抽象的线段模型也应有其一席之地。

二、经历可视化学习过程：如何发挥直观图示的思维支架作用

几何直观教学中，通常以直观图示为支架，从读图引入，经历表征和互译的可视化学习过程，引导学生经历从使用支架到改造支架再到创建支架的过程，发挥图像在数学学习中的不同层次思维加工作用，让学生从具象思维慢慢向逻辑思维发展，凸显数学学习情理相融的特质。

1. 基于读图：直观发现，感知体悟。

读图是几何直观的第一步，是学生获取数学知识的重要方法与技能，通过读图活动让学生感知理解分数的基本性质，建立直观表象。教学分数基本性质时，需要我们灵活运用好直观图示，引导学生从读图开始，初步感悟分数之间的相等关系。例如北师大版教材中提供的材料，把从合并图到扩充图来回变化的过程动态化，让学生来理解分数的扩充，采用两幅或多幅对比图理解分子、分母的变化，理解等值内涵，感悟分子、分母之间的变化规律。

我们也可以一起来看以下教学片段，感受学生通过读图理解知识的过程。

（1）课件：出示一面分数墙（图2）。

师：你能在这面墙中找到哪些分数呢？（学生自由说）

（2）分解分数墙：你们知道这面墙是怎样形成的吗？老师把这面墙拆开（图3），动态依次呈现 、 、 ，说一说这些分数分别表示什么意思， 、 、 又表示什么意思？它们之间有怎样的关系呢？请同桌互相说一说。

师生梳理、总结得出：1= = = = ……

师追问：你还能说出与1相等的其他分数吗？为什么这些分数可以用等号连接呢？

（3）揭示课题：像这样的分数我们就叫作相等的分数，刚才我们找了与1相等的分数，那么像与 、 相等的分数你会寻找吗？这就是这节课我们要研究的数学问题。

在这个过程中，学生以分数墙为可视化图示工具，在观察、拆解分数墙的过程中，激活已有的知识经验，在寻找与1相等的分数过程中初步感悟等值分数的内涵。

2. 基于表征：多维推进，促进内化。

图像表征是几何直观的核心环节。使用图像表征能够帮助学生建立数学符号与内在的心理表征之间的联结，建立分数多种意义间的联结。莱什在1979年提出数学学习的五种表征——实际情境、图像、操作、口语符号和书写符号，以及表征转化对数学概念意义的作用，图像表征占据中心地位。参考莱什提出的数学五种表征，笔者也设计了分数基本性质的多元表征图（见图4）。

通过这个多元表征图，笔者想诠释的是：学生对于分数基本性质的理解可以是多元的，学习的过程也是多元的，能够用动手操作来理解分数基本性质，能够借助画图操作来说明知识内涵，能够完整地表达分数基本性质，能与商不变性质等知识建构联系与沟通，同时多种表征之间可以来回互译沟通。

在这个图中，图像表征是思维核心，教师引导学生将学习过程中的思考方法和看不见的思维路径以图像的方式表现出来，形成能够直接作用于人的感官的知识外在表现形式，从而促进知识的主动建构。在学习过程中，大多数学生能以比较规范的模型图来表征分数之间的相等关系，如下面这个教学片段中学生呈现的学习成果精彩纷呈。endprint

在教学中，以图像表征为核心，借助几何直观为学生提供或由学生自己创造支撑数学形式化和逻辑推理的数学现实、经验情境和概念表象，使思维可视化、知识结构化、数学模型化，在此过程中培养学生的几何直观能力。教学推进过程可以如以下教学片段。

走进情境：从现实情境进入，以“一半， = = ”为认知特例，让学生初步感悟分数的基本性质。

动手操作：通过学生的动手操作引入，在涂一涂、折一折等活动中发现分子、分母的变化规律，展现学习过程，体验具体到抽象的理解过程。

画图内化：利用已有的经验，利用个性化的符号，自己寻求合适的图示（如实物抽象图、面积模型、数线模型、数轴模型等）来证明分数是否等值。

举例验证： = = 圆圈里可以填什么符号？括号里能填什么数字呢？独立思考，借助动态图演示，帮助学生形象理解，感悟变与不变的函数思想。

学生通过对分数图示的观察、发现、思索，强调脑、眼、手的多种感官参与，实现图形之间的信息加工和重构，完成了知识自我内化的过程，这是几何直观能力培养的重要一环。

3. 基于互译：多维转换，求联求通。

分数基本性质教学一般教学路径是：寻找相同分数→观察变化特征→发现概括分数→沟通与商不变性质联系→知识应用。在这个过程中，前半程渗透着不完全归纳的思想，是学生合情推理能力的培养过程。而后半程，让学生根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律来说明商不变性质，是培养学生演绎推理能力的过程。

两种推理相互印证，在求联求通的多维转换过程中，才能加深学生对分数基本性质的理解，完成知识体系的建构。课堂上，我们可以借助具体的等式变形，让学生比较清晰地感受知识间的内在联系，然后再引导学生通过画图表征、数学演算、语言表达、举例说明等方式来与商不变性质进行沟通。

只有将具象化的现实情境转化为可视化的图示表述和数学运算表达，知識发展的逻辑顺序与学生的认知序列相契合，学生的几何直观思维逐步走向深刻，能力才能慢慢形成。

数从图中来，数回图中去，以读图为入口，通过表征、互译等手段对数学进行生成性加工，这是几何直观的三个重要环节。只有经历不同数学语言不断转化、互译的过程，才能使学生的直觉、形象思维上升到理性思维的层次。

（作者单位：浙江省杭州市富阳区富春第二小学）endprint