多元函数微分学中几个易混淆的问题探究

张坤

摘 要：多元函数微分学是一元函数微分学的拓展。研究多元函数的极限、偏导、微分是在一元函数微分学上自然的推广，但其中也有区别。本文主要以举例的方式探究多元函数偏导存在与连续、可微的关系。

关键词：多元函数 偏导数 连续 全微分

中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）12-0020-01

1 多元函数偏导数存在与连续的关系

在一元函数中函数在某点可导则其在这点必连续，但多元函数在某点偏导数存在而函数在这一点不一定连续。

举例： 函数f（x，y）= ， x2+y2≠00， x2+y2=0

根据二元函数在点处的偏导数定义得：

fx（0，0）=

=

= = 0

同理可得fy（0，0）=lim△y→0 =0，该函数

在（0，0）点处偏导数存在。

但lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=lim（x，y）→（0，0）

limx→0 =

该值与实数k有关，不唯一，极限不存在，则该函数在（0，0）点处不连续。

反之，多元函数在某点连续其在该点偏导数也不一定存在。

举例：函数f（x，y）=

在点（0，0）处有lim（x，y）→（0，0）f（x，y）=

= 0 = f（0，0）

而fx（0，0）=lim△x→0

=lim△x→0

=lim△x→0 （极限不存在）

同理fy（0，0）也不存在。

2 多元函数偏导数存在与函数可微的关系

根据多元函数可微的必要条件（以二元函数为例）：若函数z=f（x，y）在P（x0，y0）处可微分，则函数在P（x0，y0）处的偏导数 和 存在，且函数z=f（x，y）在P（x0，y0）处的全微分为

dz=fx（x0，y0）△x+fy（x0，y0）△y=fx（x0，y0）dx+fy（x0，y0）dy。可知函数可微则偏导数必存在。

反之，偏导数存在函数不一定可微。

举例：函数f（x，y）= ， x2+y2≠00， x2+y2=0

在（0，0）点处fx（0，0）=0，fy（0，0）=0，即函数偏导是存在的，但△z-dz=f（0+△x.0+△y）-f（0，0）-fx（0，0）△x+fy（0，0）△y

=

在△x→0，△y→0时，ρ= →0的过程中，当沿着y=kx路径趋于（0，0）点时，

= =

= = 不趋于0

即△z-dz不是ρ的高阶无穷小，从而由微分的定义知函数在（0，0）点处不可微。

3 总结

学生在学习这部分知识内容时，常常注重对多元函数极限、连续、偏导数、偏微分、全微分的计算或证明，往往忽略了它们之间的相互关系，本文通过举反例的形式探究了多元函数偏导存在与连续的关系（多元函数偏导存在不一定連续，连续也不一定偏导存在）、多元函数偏导存在与可微的关系（多元函数偏导存在不一定可微，可微则偏导必存在）。

参考文献：

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