结合数学归纳法原理探讨新课程标准下的数学归纳法教法

摘 要：数学归纳法是中学生难以理解掌握的十大概念之一，古往今来对数学归纳法的研究层出不穷，根据教育部日前印发普通高中课程方案和课程标准（2017年版）增加的数学学科核心素养，势必对以往普通的数学归纳法教法有所冲击。

关键词：数学归纳法；递推；证明；教学设计

一、 新课程标准关于数学归纳法的要求

教育部日前印发普通高中课程方案和课程标准（2017年版），与2003年颁布实施的普通高中课程方案相比，新课程方案和课程标准在文本结构、内容及其实施要求等方面进行了改进和完善。在文本结构上，主要新增了学科核心素养和学业质量要求两个部分，内容更全面，结构也更加完整，努力使标准从整体上有较大提升。在课程标准内容方面，努力凸显思想性、时代性和整体性等。值得關注的是，各学科首次凝练提出学科核心素养，明确了学生学习该学科课程后应形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，并围绕学科核心素养的落实，精选、重组教学活动，提出考试评价的建议。

数学学科核心素养的内容是数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算和数据分析。他们既相互独立又相互交融，是一个有机整体。在以往的教学中，学生对于数学归纳法属于一知半解，能利用数学归纳法的步骤解题，但是始终认为数学归纳法结论得来的太突然，不能深刻理解数学归纳法中的递推思想，也就是逻辑推理思想掌握得不够透彻，这不符合现在所提出的高中数学学科素养。

二、 新旧教材中的数学归纳法

现在教材中所出现的数学归纳法都是第一类数学归纳法。

教材中对于数学归纳法一开始就直接说明是一种特殊的证明方法，主要用于研究与正整数有关的数学问题，然后从多米诺骨牌游戏开始启发，引发思考，提出问题，这个游戏中，能使所有骨牌全部倒下的条件是什么？然后直接抛出了数学归纳法的证明步骤，接着通过大量的例题解答，使学生掌握了数学归纳法的步骤。而这样的处理，学生确实掌握了数学归纳法的证明步骤，然而却觉得结论来得太过于突兀，不能深刻理解到数学归纳法的递推证明思想。

在九十年代的教材中，数学归纳法是由学习“第一项相同而第二项不同的若干个二项式的积”这一课题而引出的，而这一课题的目的又在于导出“二项式定理”这一重要内容，而后又将这一证明方法用之于等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式的证明，甚至是排列、组合、复数、不等式的证明以及恒等式的证明等等。因此，在九十年代的课本中，数学归纳法是作为重难点知识讲解的，而学生同样学习这一章节的内容时感到困难，不易掌握其精神实质，或者不能熟练运用这一证明方法。

三、 数学归纳法的原理

数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法。

用数学归纳法证明命题的步骤：（1）归纳奠基，证明当n取第一个值n0（n0是正整数）时命题成立。（2）归纳递推，假设k≥n+时，命题成立，推证当n=n+1时命题也成立。只要完成了这两部，可断定这命题对n0开始的所有正整数n都成立。虽然从表面上看，我们没有就命题是否为真对所有的自然数一个一个加以验证，但事实上对所有的自然数，通过递推关系，自动都得到了验证，而且每一次验证，都是一次演绎推理。即这一步是由无数次演绎推理构成的。就像一条无穷的链子，环环相扣，每一环都是典型的三段论式的推理。

大前提：若P（k）成立，则P（k+1）成立；

小前提：若P（1）成立，

结论：则P（2）成立。并且同样可以推出P（3）成立，这个过程自动延续直至无穷。事实虽然如此，但是无论哪个题目里，情况总是这样，并无二致，因此每题无需重复以上过程，可以只用一句同样的话由两个步骤就可以完全概括了，而从不把它当作一个步骤，然后写出经过归纳得出结论，整个递推到这里就结束了。这就是教材中说数学归纳法只有两个步骤的原因。但是却不能忘记，这短短的两句话里，不仅包含一个无限递推的过程，而且数学归纳法的“归纳”不是在其他地方体现的，恰恰正是这里体现出数学归纳法中的“归纳”。我们的结论，是经过递推无数次验证之后，才归纳得到的。

四、 数学归纳法的教法

通过对教材的感知，现代对于数学归纳的教法是采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师的组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望，师生共同探究多米诺骨牌倒下的原理，类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤，进而给出例题，应用数学归纳法证明一些简单的数学命题。要提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调学生的主体性、主动性和平等性，也强调交流性、开放性和合作性。

五、 数学归纳法与高考

数学归纳法是离散数学的前提。考虑到专业受限，学生掌握程度不同，以2018年高考大纲为例，文科数学对数学归纳法并不做任何要求，对于理科数学则是理解数学归纳法的原理，能利用数学归纳法证明一些简单的命题。

根据以往高考出现过的需要以数学归纳法证明题来说，都是并非多难，而是根据数学归纳法的步骤是可以解决的简单命题。正如2010年江苏卷理科23题。已知三角形ABC的三边长都是有理数。（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosA是有理数。

六、 数学归纳法教法建议

学生对数学归纳法很容易猜想到归纳结果，但是却对证明过程望而却步。其实这可以参照我们对函数单调性的证明方法，将无限的数化为有限的数去操作。在多米诺骨牌倒下的情景中也可以提出，若是从中抽出几块是否还能继续倒下，或是如果不推到第一张骨牌，又应该如何去做？或者给出一个简单数列{an}，a1=1，an+1=an1+an（n∈N*）求通项{an}，这个数列容易求出每一项，然后归纳出它的通项公式，但是却不能以数列传统的证明方法去证明，只能另辟蹊径，此时教师再从旁协助，使学生理解到数学归纳法的原理，从而再去证明。

数学归纳法虽然近几年并没有出现在高考试卷中，但是考纲中并未将其删除，所以不能以此忽略数学归纳法的学习，所以以数学归纳法原理为基础的教学必然需要大力推广。

参考文献：

[1]周鸿照.数学归纳法的教材研究与教法建议[J].数学通报，1961（3）：12-13.

[2]徐淮.试谈数学归纳法的实质[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），1988（2）：10-11.

作者简介：

张颖，四川省南充市，西华师范大学。