数学归纳法的探究性教学设计与教学建议*

重庆市渝中区教师进修学院 (400015)

王跃辉

唐压西重庆市复旦中学 (400015)

莫定勇

数学归纳法的探究性教学设计与教学建议*

重庆市渝中区教师进修学院 (400015)

王跃辉

唐压西重庆市复旦中学 (400015)

莫定勇

数学归纳法是数学学科中一种重要而特殊的证明方法，主要用于证明与正整数有关的数学问题，它的获得与运用过程充分体现了合情推理与演绎推理的基本思想方法.不仅它的运用对帮助学生体会证明的功能与特点，养成言之有理、论证有据的思维习惯具有非常重要的作用，而且它的获取过程对学生思维能力、探究能力、数学地研究问题的能力、学会数学地思考问题，以及创新意识和创新能力的培养也很有好处.由此可见，数学归纳法的学习能很好地促进学生数学核心素养的发展，所以课标教材把它列为学生必须选修的重要内容之一.《普通高中数学课程标准》(以下简称《课标》)明确指出：方法的教学应通过适当问题情境的创设，引导学生从中发现数学的规律，使学生经历数学方法的获取过程.我们知道，数学归纳法的基础是皮亚诺(Peano)公理，所以数学归纳法是定理而不是公理.而高中学生未学习皮亚诺公理，所以数学归纳法的正确性学生是无法证明的.因此，高中阶段只能让学生把它作为公理来认识，然而其自明性又不明显.因此，如何教学才能让学生真正理解数学归纳法的原理和本质，切实掌握数学归纳法，一直是广大数学教育教学工作者们探索的问题.分析《大纲》教材和《课标》教材的编写方式，以及教师的课堂教学，就数学归纳法的处理方式大致可以分为如下三种：

第一种：首先给出学生不能由已有方法解决的数学问题，让学生明确必须寻求新的方法；然后直接给出数学归纳法，最后用生活现象(如，多米诺骨牌)让学生理解数学归纳法.

第二种：首先给出学生不能由已有方法解决的数学问题，让学生明确必须寻求新的方法；然后引导学生通过对生活现象(如，多米诺骨牌)进行分析获得规律，从而获得数学归纳法.

第三种：直接从生活现象(如，多米诺骨牌)出发，引导学生对该现象进行分析，发现其中蕴含的规律，再运用这种规律来解决数学问题，从而获得数学归纳法.

其中第一种是《大纲》教材的编写方式，第二种是《课标》教材的编写方式，第三种常见于教师的诸如：示范课、研究课和优质课.

这三种处理方式都有两个共同特点：一是注重数学归纳法本质的教学；二是关注数学与生活的联系.不同之处是：第一种是以知识为中心，只讲是什么不讲为什么；后两种都注重数学归纳法的获取过程，让学生在过程中了解数学归纳的原理和理解数学归纳法的本质.从形式上看，后两种更能体现课程理念和思想，然而并非如此.我们知道，数学归纳法是数学家们在研究数学问题解决的过程中提炼总结出来的.也就是说，数学归纳法源于数学本身，不是来源于生活.换句话说，数学归纳法不是生活现象中的某种规律在数学中的应用.因此，如果从数学与生活的关系来看，第一种正确处理了这种关系，而后两种则不然，不能让学生形成正确的数学观.如果从数学归纳法的获取过程来看，后两种不是数学归纳法的真正获取过程，是一种伪过程.

笔者通过查阅有关数学归纳法的获得过程的史实资料，对数学归纳法的产生、原理和本质进行了认真的研究，汲取了两种教材的精华，给出了数学归纳法教学的一种全新设计方式，并将该教学设计运用于课堂教学，收到了较好的效果.现将其教学设计的主要环节介绍给大家，同时对每个环节给予教学分析与建议的说明，供同行参考.

一、情境创设，引入新课

思考题1 下列两个推理所得结论是否正确？为什么？

(1)设数列{an}满足条件：an=(n2-5n+5)2.∵当n=1,2,3,4时，都有an=1，∴对于任意的自然数n，都有an=1.

(2)设数列{an}为等差数列，d为公差.∵当n=1时，有a1=a1+(1-1)d，当n=2时，有a2=a1+d=a1+(2-1)d，当n=3时，有a3=a2+d=a1+(3-1)d，……

一般地，当n=k+1时，有ak+1=ak+d=a1+[(k+1)-1]d，……，

∴对于任意的自然数n，都有an=a1+(n-1)d.

教学分析与建议：《课标》教材把数学归纳法放在选修2-2的“推理与证明”一章中，在这之前，学生已学习了数列的相关知识和掌握了数列的一些基本证明方法，以及合情推理与演绎推理.对于第1个推理，学生容易由n=5,得an=5≠1，进而可知其推理所得结论不正确.对于第2个推理，学生用迭加法容易证明其结论的正确性.而这两个都是与自然数有关的问题，所以创设这样一个问题情境引入课题的意图主要有三：一是复习数列的相关知识与证明方法，以及合情推理与演绎推理，让学生更进一步明确：由特殊到一般所得的结论可能正确也可能不正确，其正确性需要用逻辑推理的方法加以证明；二是第2个推理的过程实际上蕴含了数学归纳法的两个基本原理;三是提出问题：一般地，对于任意一个与自然数有关的问题，应该用什么方法来证明它的正确性呢？因此，该问题情境在学生的已有知识经验与将要学习的数学归纳法知识之间建立了一种有机联系，让学生感受到将要学习的数学知识是已有知识的延伸与发展.

二、过程分析，厘清区别

思考题2 上述两个推理过程有什么区别？

教学分析与建议：既然两个结论都是采用由特殊到一般的方法得到的，然而一个正确，另一个却不正确.因此，我们就有必要对这两个推理过程进行认真分析，弄清它们的区别是什么，找出其中影响结论正确与否的真正原因，所以在教学中设计了这个思考问题.教学时教师要引导学生通过分析明确：第1个推理的结论是直接把n=1,2,3,4代入通项公式中计算发现其结果都为1而得到的；而第2个推理的结论是在a1成立的前提下，由a1推得a2成立，然后又由a2成立推得a3成立，……，最后一般地由ak成立推得ak+1成立，并且这种推理是可以无限地进行下去而得到的.由此可见，第1个推理所得的结论之所以不正确其原因是：各个推理相互独立，没有任何联系；而第2个推理所得结论正确的原因是：在a1正确的前提下，后面任意一个结论的正确性都是由前一个结论推得的，相互之间存在着一种内在的必然联系：后一个结论的正确性依赖于前一个.

三、简化过程，突显本质

问题1 请根据第2个推理的特点用一个简洁明了的推理过程表示第2个推理.

教学分析与建议：由于第2个推理的特点是：在a1成立的前提下，由a1推得a2成立，然后又由a2成立推得a3成立，……，最后一般地由ak成立推得ak+1成立，并且这种推理可以无限地进行下去，并且它所推得的等差数列的通项公式是正确的.因此，我们就有必要对它做进一步的研究，看看具有这种特点的推理中是否蕴含了一种什么普实性的数学思想方法？而第2个推理的过程显然不够简洁，所以在教学中我设计了这样一个问题.其意图是让学生通过对第2推理中各个推理的分析，抓住本质，简化其过程，以便后面做进一步的研究.教学时，教师要引导学生把第2个推理过程简化为如下形式：

四、运用方法，获得猜想

思考题3 假设P(n)是一个与自然数有关的问题，如果我们要采用推理过程(1)的方法来说明它的正确性，其推理过程应怎样表述？

教学分析与建议：推理过程(1)简洁地反映了等差数列通项公式的推导过程，而等差数列的通项公式又是一个与自然数有关的问题，所以在教学中教师应引导学生思考：对于任意一个与自然数有关的问题，是否只要采用这种方法能推得其结论，那么该问题就必定正确？要解决该问题，就必须给出其与推理过程(1)相应的推理方法，所以在教学中我设计了这样一个思考题.教学时教师只须引导学生运用特殊到一般的数学方法便可给出如下推理过程：

由此猜想：对于任意一个与自然数有关的P(n)命题，只要采用推理过程(2)的方法可推得其结论，那么该命题P(n)就必定正确.

五、联系生活，理解原理

观察与思考：观察“多米诺骨牌现象”，请用“多米诺骨牌现象”解释推理过程(2).

教学分析与建议：以上猜想的正确性涉及了皮亚诺(Peano)公理,高中学生无法证明它的正确性，所以高中阶段只能让学生作为公理来认识，但它的自明性又不明显.因此，教学中教师必须从学生生活经验中选取那些在其原理和本质上与之相同的一些生活现象进行解释和说明，让学生真正理解其原理和本质.而“多米诺骨牌现象”是一个很具代表性的典型生活实例，每个学生都有所接触，所以在教学中我设计了这样一个观察与思考.教学时，教师只须引导学生根据“多米诺骨牌现象”来理解推理过程(1)的正确性即可.

六、依据规律，化无限为有限

问题2 请根据推理过程(2)的特点将过程中从第2个推理及后面的无限推理用一个统一的推理形式表示出来.

教学分析与建议：观察与思考让学生用自己生活中的现象对推理过程(2)进行了解释，理解了它的合理性，并认可了用它所推得的结论是正确的.由于它含有无限个推理，学生容易知道它在实际运用中不具有可操作性.所以在教学中我设计了这样一个问题.其意图是引导学生根据其特点把它转化为只含有有限个的推理，使其具有可操作性.

教学时，教师要引导学生根据前面分析所得推理过程(2)的特点：“从第2个推理开始，后面所有的各个推理都是用前一个的结论推后一个”把它们统一表示为：“当n=k+1时，由ak成立⟹ak+1成立(k∈N*)”.最后，再引导学生将推理(2)写成如下形式：

七、明确意义，理解推理

思考题4 在推理过程(3)中，一共包含了几个步骤？每个步骤的意义是什么？

教学分析与建议：推理过程(3)大大地简化了推理过程(2)，它把含有无限个推理的推理过程(2)转化为了一个只含有三个推理的推理过程，于是它就具有了可操作性.要正确使用，必须对其过程中每一步的意义达成真正的理解，所以在教学中我设计了这样一个思考题.教学时，教师只须稍作引导和启发，学生就可知道推理过程(3)包含了三方面的内容：一是“当n=1时，P(1)成立”是指“已知P(1)成立”；二是“当n=k时，P(k)成立”是指“当n=k时，如果P(k)成立”；三是在这两个都成立的条件下，“当n=k+1时，由P(k)成立⟹P(k+1)成立”.

八、视角转换，推导变证明

思考题5 将推理过程(3)作为一种证明方法，应该如何表述？

教学分析与建议：由前面的讨论可知：如果一个与自然数有关的命题P(n)，只要用推理过程(3)的方法能推得其结论，那么命题P(n)就必定正确.也就是说，它还只是一种推导方法，但由于它所推得的结论必定正确，所以我们也可以把其作为证明一个与自然数有关的命题正确性的一种方法.我们知道，推导是根据已知的公理、定义、定理和定律等经过演算和逻辑推理而得出新的结论；而证明则是根据已知的公理、定义、定理、定律等经过演算和逻辑推理说明已知结论成立.所以，推导与证明是有区别的，它们是两种不同的数学方法.因此，它们在使用时的表述方式上会存在一定的差异.尽管推理过程(3)也可作为一种证明方法来使用，但作为证明方法使用时必须符合证明方法的表述方式，所以在教学中我设计了这样一个思考题.教学时，教师要引导学生从数学问题证明的角度思考:把推理过程(3)中的第一步“当n=1时，已知P(1)成立”转换为“当n=1时，证明P(1)成立”；第二步“当n=k时，如果P(k)成立”转换为“当n=k时，假如P(k)成立”；而第三步“当n=k+1时，由P(k)成立⟹P(k+1)成立”转换为“当n=k+1时，依据P(k)成立，证明P(k+1)成立”.然后引导学生将其综合形成如下证明一个与自然数有关的命题P(n)正确的方法(即数学归纳法)：

第一步，当n=1时，证明P(1)成立；

第二步，当n=k时，假如P(k)成立；

第三步，当n=k+1时，依据P(k)成立，证明P(k+1)成立.

以上是我对数学归纳法的教学设计与实施教学的几个主要环节.在设计时，注意以问题引领，问题的设计力求做到环环紧扣，每一环节或每一步的出现自然、合理、顺理成章，让学生从已有的知识经验出发，经历数学归纳的一个比较完整的提炼与获取过程.在教学时，力求做到既讲逻辑又讲道理，明确数学与生活的关系，让学生通过数学归纳法的学习亲身经历数学研究的过程，从中了解和体会数学地研究问题的思路与方法，促使学生数学核心素养的发展.在撰写时，把着力点放在了教学分析与建议上，力求做到使该设计具有可借鉴和可操作性.最后，希望该设计对大家在数学归纳法的教学时有所启迪和帮助.

* 本文系作者主持的重庆市十三五规划专项课题《基于学生发展数学核心素养的高中数学教学设计的研究》的研究成果之一.