二元函数极限求解的部分讨论

薛秋

【摘要】在高等数学中，由于二元函数涉及二个变量，导致求二元函数的极限比求一元函数的极限困难得多、复杂得多.那么怎样才能正确、快捷地求出二元函数的极限呢？本文就此谈谈相关内容.

【关键词】高等数学；二元函数极限

在高等数学中，极限是最重要、最基本的内容之一.一元函数的极限，学生们比较容易学习和掌握，而对于二元函数的极限，目前电大教材只做了简单的介绍，因此，大部分学生在求解具体二元函数极限时，觉得不像求一元函数极限那样容易入手.事实上，由于二元函数涉及两个变量，随着变量个数的增加，导致求二元函数的极限比求一元函数极限困难得多、复杂得多.下面先来看二元函数极限的定义.

从定义可看出，二元函数极限的定义中，点P无限逼近点P0，与一元函数极限定义中，点P无限逼近点P0的方式是不同的.在一元函数中，点P无限逼近点P0的方式只有两种：一种是沿数轴从左边无限逼近点P0；一种是沿数轴从右边无限逼近点P0.但在二元函数中，点P无限逼近点P0的方式却会出现无数种：既可以沿任何路径逼近，也可以从任何方向逼近.这就告诉我们：二重极限的存在，必须是点P以任何的方式逼近點P0时，二元函数f（x，y）都无限逼近常数A，所以如果点P以某一特定的方式逼近点P0时，即使有二元函数f（x，y）无限逼近某一常数，也不能推出极限存在.但反过来，如果当点P以不同的方式逼近点P0时，二元函数却无限逼近不同的常数，则可马上确定二元函数的极限不存在.面对如此复杂的情况，怎样才能正确求解二元函数的极限呢？其实我们有多种方法求解二元函数的极限.有部分题目甚至可以用类似于一元函数求极限的方法求出二元函数的极限，为此本文粗浅地谈谈这方面的内容.

【参考文献】

[1]冯英杰，李丽霞.二元函数极限的求法[J].高等数学研究，2003（1）：32-33.

[2]李林曙，黎诣远.微积分[M].北京：高等教育出版社，2005.endprint