傅里叶级数的收敛性和应用

范伟熠

摘要：本文分析了函数方程f（x）展开成傅里叶级数的收敛性问题，给出了傅里叶级数的相关证明，并且在本文中也拣选了它的起源，有助于读者来了解傅里叶级数。傅里叶级数用简单的三角函数的线性组合来代替那些看起来很复杂的函数，通过研究那些线性组合后的三角函数，来达到理解那些复杂函数的关系的目的，本文中给出了一些例子来加以说明。

关键词：傅里叶级数；收敛性；应用；数学

一、 引言

在我们无法进行理论证明的时候，采用直观推断的研究方法其实在早期的科学研究中，已经被广泛地应用，因此也带来了很多的重要发现，傅里叶级数就是其中之一。他的研究促进了函数概念的发展，他解决了关于弦振方程问题的解的争论，同时还拓展了函数概念的发展，让人们觉得函数必须要有一个表达式来进行说明，人们可以从泰勒公式之中解放出来，而且傅里叶的结论展示了强大的生命力，比以前人们使用三角函数正交要简单明了一些，这是很伟大的举动。傅里叶将其发展成了内容丰富的理论，从而开创了数学物理学的一个时代。

二、 傅里叶级数的收敛性

同理，当f（x）在x的右邻域也为单调函数也是成立的。研究工作者们得出结论，连续函数的傅里叶级数在某些点是发散的，而且级数在算术平均和的意义下总是收敛该函数，同时有函数在任意给定的零测集上，存在连续的周期函数在该点都是发散的，所以傅里叶级数的收敛性问题就清楚了。

三、 傅里叶级数的应用

（一） 利用傅里叶级数敛散性证明等式

傅里叶级数的等式方面的证明是傅里叶级数收敛性的主要应用之一，也是高等数学的证明等式的基础，证明两个等式相等方法有很多，利用傅里叶级数只是其中的一种而已，由级数的收敛性就可以证明。通常的做法就是将其中的一个等式变成傅里叶级数，由级数的收敛性就可以比较清晰，下面举例证明。

四、 结语

傅里叶级数是數学领域中一个十分重要的学科，是处理很多科学和工程问题必不可少的工具，本文通过这些内容希望给读者这方面的启示。

在实际中如果遇到十分复杂的事物，傅里叶级数就是这样的数学思考方式的体现，它的主要体现是把复杂函数化为简单的三角函数的线性组合，通过研究三角函数的线性组合来达到研究复杂函数的目的。本文简单地介绍了傅里叶级数的收敛性和一些方面的应用，即在纯数学应用中来解决问题。

参考文献：

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[2]李莲英，黄淑贞.Fourier级数的收敛性及应用[J].山东科学，1996，（1）：1-6.

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