紧扣数量关系，培养解决问题能力

李申华

【摘 要】数学解决问题教学，不应该忽视数量关系，而应该更加重视数量关系的建构。具体而言，可以从“注重积累，建构数量关系；注重策略，活用数量关系”两个方面展开教学，从而有效促进学生解决问题能力的提升。

【关键词】数量关系；问题解决；能力培养；途径策略

新课改实施以来，一线教师对于解决问题教学，存在最大的困惑就是能否提数量关系，怎样提数量关系，提到什么程度。许多教师在教学中不敢提数量关系，只停留在具体的情境上，趋向以题论题，日积月累下来，学生对问题的结构特征和数量关系模糊不清，解决问题能力薄弱。到了高段，学习复杂的解决问题以及列方程解应用题，就会更加困难，也会致使两极分化加剧。数量关系是解决问题的基础和關键，是解决问题的引擎，是动力所在。解决问题，学生首先要理解题意，明确题中的条件和问题，明确条件与条件之间存在什么样关系，才能有效清晰地解决问题，这就是数学核心素养之一的“数学建模”。数学从某种角度说，就是研究数量关系的科学，数量关系不清楚，数学也很难学好。新课改倡导，不但不能削弱数量关系教学，而且应该加强数量关系教学，培养学生“数学建模”能力。当然，不能从数量关系的模式出发，机械照搬使用，而应该从实例出发，积累、感悟、归纳和运用，使“数量关系”自然生成、灵活使用。下面笔者谈谈自己的一些实践经验。

一、注重积累，建构数量关系

解决问题教学，要求学生能厘清情境中的信息与所求问题之间的数量关系，能用语言有条理地表述思维过程，明确解决问题的结构，能在整合沟通中梳理数量关系。这些数量关系的得出，都必须经过一个长期不断积累的过程。因此，对中低年级学生的解题思路进行训练，在学生阐述的过程中不断积累数量关系，巩固数量关系，使这些基本的数量关系在学生的知识体系中网络化，有利于学生形成数量关系体系。

（一）表述思维——建构数量关系

引导学生对思考过程进行阐述，学生表述的过程就是其在头脑中抽象数量关系的过程。其实也就是让学生说解题思路，这个语言化的过程可以是口头的阐述，也可以是画图、列表，或者是文字表述，运用这些数学化的手段，分析、梳理信息之间的数量关系，进而达到真正建构数量关系的目的。

1.画解题思路。引导学生学会画直观图，直观呈现数量关系。这种图可以是线段图或者是学生自己喜欢的图形与文字等的结合。教师一定要经常在帮助学生梳理、筛选信息的过程中，示范画线段图，教会学生看线段图和梳理、挖掘已知条件，并体会线段图对于解决问题的好处。经过一段时间的训练后，就要让学生尝试借助画线段图来整合条件，把解决问题中的本质直观形象地呈现出来。教师及时点拨学生理清根据哪两个数量画出来的，可以求出什么数量？这样数形结合的过程，也是画解题思路的过程，并且为明晰数量关系扫清了障碍。

如在教学三年级上册“用乘除法解决问题”一课时，教师出示问题：妈妈买3个茶杯用去27元，买8个这样的茶杯需要多少元？让学生在独立审题的基础上要求学生采用画图或文字表述的方式来表示题目的意思。

学生通过自主表示题目的意思，多元表征，在合作讨论交流中很好地梳理了题目的数量关系，逐步从具体实物图过渡到线段图以及文字表征等，丰富了表征的形式，发展了学生的概括能力，为理解数量关系、独立列式解答奠定了良好的基础。

2.写解题思路。有了画线段图为基础，接下来学生才有可能理清数量关系。让学生在图示基础上，把数量关系式写出来。开始阶段，为了帮助部分有困难的学生准确有效地找到数量关系，就要教会他们找到涉及基本数量关系的关系句。告诉学生这些关系句中通常都会提及两个量，只要把这个关系句进行划分，搞清楚这两个量之间的关系后，再写成数量关系式，就可以为建构数量关系打下坚实的基础。写解题思路的方法在高段尤其是学习分数应用题时显得尤为重要，通过学生写解题思路，引发头脑的联想风暴，将学过的知识进行融会贯通，为解决问题扫平思维的障碍。如低年级学习“男生比女生多4人”，要求学生在会画图的基础上写出“女+4=男，男-女=4”等关系式，再到六年级学习分数应用题时出示“男生比女生多[14]”，就能根据图示写出关系式“女×（1+[14]）=男”，再针对这个信息进行联想，学生会由此想到：男生是女生的[54]，女生是男生的[45]，男生与女生的比是5∶4，女生与男生的比是4∶5，男生是女生的125%……根据这些信息也能写出相对应的数量关系式和解题思路，学生解决问题时就能触类旁通、游刃有余。

3.说解题思路。在教学中，教师可以先让学生说一说已知的条件和问题，检查学生是否已经读懂相关的条件和问题。这个过程也是辨别信息、梳理条件和问题之间匹配性的重要过程。接着，让学生说一说，根据哪两个量，可以求出什么量，再根据求出的结果和第3个量，又可以求出什么结果。学生说的解题思路，可以是从条件到问题，也可以是从问题到条件。学生一开始在教师的提问和自己的回答中说解题思路，经过一段时间的训练后，就能流畅地用分析法或者综合法说解题思路。这就是学生能有效把握数量关系的证明。

如在教学归总问题时，教师充分运用学生已经学习了归一问题的知识基础，出示了帮助学生说理的思维“脚手架”，即根据（ ）和（ ）可以求出（ ），再根据（ ）和（ ）又可以求出（ ），利用这个思维的脚手架充分搭起了学生有序思考问题的桥梁，为学生分析数量关系，顺利地解决问题打下坚实的基础。

（二）明确结构——积累数量关系

两步计算解决问题是解决问题体系中的关键和转折点。明确两步计算解决问题的结构，使学生在此过程中弄清和积累数量关系，为解决问题策略的多样化以及解决更复杂的复合问题打好基础。两步计算虽然和一步计算仅仅一步之差，但是就是这一小步，却是关键的一步。这对帮助学生在条件和问题之间找到中间的踏板，加强两步问题的结构训练就显得尤其重要。使学生通过把握两步计算问题的结构，学会解决两步问题，进而解决更复杂的问题。endprint

1.“过渡”改编。让学生进行“过渡”改编，不直接出示两步计算问题，而是出示两道有联系的一步问题，学生解题后要求他们合并成一道题。再让学生观察两组题之间的联系与区别。这样的过渡训练既把隐藏的条件揭示出来，又使学生无形中了解到两步计算问题的结构，有了这个过程，学生说起解题思路来也就轻松了。在教学两步计算问题时，教师化解难度，让学生更好地理解题意，掌握方法，对问题进行过渡，一分为二，寻找方法再解决问题。如：王叔叔带领工程队修一段路长600米，已经修了320米，余下的每天修70米，还要几天才能完成？由于三年级学生初学两步问题，教师采用出示两题的方式：王叔叔修一段长600米的路，已经修了320米，还剩下多少米？再出示：一段路剩下280米，每天修70米，还需要多少天才能完成任务？将这个问题一分为二，降低难度，帮助学生掌握分析问题的方法。在此基础上再重新出示原题让学生体会解决问题的方法，同化新知，使学生顺利掌握解题思路。

2.扩展改编。在学生对两步问题有了一定认识的基础上，训练学生把一步问题中的一个信息扩展为两个信息，引导学生把直接条件转化为间接条件。这样做不仅能使学生进一步明确两步问题是由一步问题的直接条件转化成间接条件而来的，而且为分析以后更复杂的问题结构打好了基础。如 一、二年级学习的加法问题“男生20人，女生80人，一共多少人？”将题目中的“女生80人”这个直接条件改编成“女生是男生的4倍”，让学生求总人数，通过改编实现一步问题向两步问题的跨越，在学生思维的最近发展区设置问题，帮助学生理解，促使学生的思维能力得到发展。

3.缩题改编。让学生进行缩题改编，就是让他们先找到中间问题，先算一算变成直接条件，然后把两步问题转化成一步问题。教师可以提出要求：条件不变，变问题，把两步问题改为一步问题；条件变，问题不变，把两步问题缩成一步问题。然后让学生比较这组题有什么相同和不同之处。通过这样的练习，学生会懂得：把间接条件转化为直接条件，两步计算的问题可变成一步计算的问题，这就为学生正确认识中间问题作了铺垫。

（三）整合沟通——网络数量关系

学生在切实理清两步问题结构的同时，也间接落实并积累了常见的基本数量关系，以这个基本数量关系为基础，发展到一组数量关系，再由此及彼，拓展那些结构类似的基本数量关系，形成数量关系群，就是由点到线、由线到面、由面到体逐步发散的过程。这样呈放射状的数量关系群，必须进行针对性训练和综合性训练，然后引导学生通过比较、辨析、沟通、整合，逐步抽象出它们的数学模型。学生不仅了解到这群数量关系的本质，而且了解到它们的来龙去脉，知道了它们在具体生活情境中的变式，也意味着抓住了数量关系的灵魂。

如学习了“速度、时间和路程”后，可以拓展单价、数量、总价的数量关系和工作效率、工作时间与工作总量的数量关系。出示这两组类型的问题，让学生解决。因为有了基础，所以学生能比较顺利地归纳出这两组数量关系。最后，引导学生比较这三组数量关系，有何异同，在沟通和比较中概括出速度、单价、工作效率相当于每份数，时间、数量、工作时间相当于份数，路程、总价、工作总量相当于总数，这三组数量关系就相当于份总关系，在拓展和延伸中学生也建构了数学模型。

学生在教师的带领下，从一个数量关系到一组数量关系再到一群数量关系，其实就是把个别特殊的数量关系拓展为一群数量关系，再从中找出和它们本质相关的数量关系，在此过程中，学生也在比较、辨析中建构了数量关系。

二、注重策略，活用数量关系

高年级的解决问题教学，要把重心放在引导学生学会运用策略解决实际情境中的数学问题，激发他们主动自觉运用策略解决问题的意识，帮助学生更好地梳理数量关系，直观地分析数量关系，从而进一步概括出精练且内化的数量关系，最终达到灵活运用的目的。

（一）对比——体验活用

让学生在对比中沟通解法的联系，异中求同，防止学生在解决问题中形成思维定势，帮助他们从根本上理解数量关系，学会构建数学模型，发散多样化的解决策略。

⑴甲书架有书60本，乙书架的书比甲书架的2倍少20本。乙书架有书多少本？

⑵甲书架有书60本，比乙书架的书的2倍少20本。乙书架有书多少本？

学生容易产生思维定势，看到少就减，看到多就加，教师为了打破学生的思维定势，使他们真正理解数量关系，就要求学生画线段图整理信息，再结合线段图进行解读，对关键词句进行逐一分析，从文字表述和线段图两方面对比异同，在数形结合中洞察数量关系。最后，对两题的结构和解法进行比较，学生体会到像这样的1倍数未知的题目，还是用列方程来解更好一些。

教师应该引导学生通过数形结合，抓比较，抓关键词句分析，使学生意识到不能见少就减，见多就加。引领学生感受并自主选择求1倍数的时候用列方程解决问题更恰当。学生也从根本上理解和内化了数量关系，形成了解决问题的策略。

（二）跟踪——巩固活用

学生在积累了一定的数量关系后，教师可以针对某个专题、某种策略进行跟踪研究，让学生学会列方程解决问题的方法。在专题研究中，学生更能灵活选择策略，运用数量关系，解决问题。如在初步学习购票问题的解决方案后，教师出示了旅行社推出“××风景区一日游”两种价格方案。

[方案一

成人每人150元，

儿童每人60元。] [方案二

团体5人以上

（含5人）

每人100元。]

（1）成人6人，儿童4人，怎样购票最省钱？

（2）成人4人，儿童6人，怎样购票最省钱？

学生在思考问题时充分考虑人数的变化选择相应的方案，巩固学习的方法。

（三）反思——自主活用

教师及时引导学生回顾与展望解题过程，加强反思训练，有利于举一反三、触类旁通，培養思维的深度和广度。

如教学“梯形的面积”后，教师出示这样的问题：有一堆钢管，它的横截面是梯形，最上层有3根，每层多一根，最下层有7根，这堆钢管一共有几根？让学生思考解决这个问题可以运用学过的什么数量关系。你还想到什么类似的问题也可以运用这个数量关系来解决？有学生举例排队问题。教师继续拓展：学校合唱队表演，排成四排，第一排有8个人，每排多两人，这个合唱队一共有几人？学生独立解决后，思考、比较这个队形和算式，有什么发现？学生通过对梯形面积的及时反思，发现这些问题最终都能化归到求梯形的面积计算公式上来，巩固、深化了梯形面积计算公式的数量关系。

解决问题策略应该是和数量分析密不可分的，不能切割开来，我们要多着力于策略的有机渗透。教师站在策略的高度俯视，再来引导学生进行数量关系的建构，才能教活数量关系。

总之，教师教学解决问题时首先应该着重于铺垫，活用主题图，善用提问，巧用自编题，让学生感悟数量关系。在此基础上，让学生在表达思维、明确结构和形成数量关系网络的过程中逐步理解掌握数量关系。最后，要引导学生灵活运用数量关系，教师通过对比策略、专题跟踪策略、反思策略，引导学生瞻前顾后，提升思考力，形成解决问题策略。当然，有效地落实数量关系的建构，不是落实套路和模式，而是教师在课堂教学中要重视学生对数量关系的建构过程，关注学生的数学思考力和数学思想方法的发展。

参考文献：

[1]钟辉.小学数学“解决问题”教学的思考与实践[J].教学月刊·小学版（数学），2007（11）：28～30.

[2]卞庆龙.新课标背景下的数量关系分析教学[J].教学与管理，2015（08）：47～49.

（浙江省临海市桃渚镇连盘小学 317013）endprint