Lyapunov第一方法在非线性控制中的应用解析

摘要：Lyapunov方法是进行系统稳定性分析和控制设计的重要工具。一般教材和参考资料上主要讲述的是如何进行稳定性分析，而本文主要对Lyapunov第一方法在非线性控制设计方面的应用进行解析说明。本文首先介绍了Lyapunov第一方法的基本内容，以及在进行控制设计时的注意事项。然后针对具体例子演示了如何应用Lyapunov第一方法进行控制律设计的过程，并对设计的控制律进行了系统仿真验证。

关键词：Lyapunov第一方法；非线性系统；非线性控制；线性系统

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）50-0195-03

一、引言

1892年俄国学者Lyapunov发表了论文《运动稳定性一般问题》，给出了分析常微分方程组稳定性的两个方法，分别称为Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法。其中Lyapunov第一方法针对非线性系统的一次近似线性模型，分析系统相应平衡点的局部稳定性。虽然应用Lyapunov第一方法有一定的局限性，比如要求非线性系统具有可微性，以及得出结论是小范围的稳定性质。不过，由于当前关于非线性系统并没有统一有效的分析控制工具，而Lyapunov第一方法易于分析理解，并且能够结合相应成熟的线性系统理论，故其已成为研究非线性系统控制的理论方法之一[1，2]。在自动控制原理II或現代控制理论课堂中，Lyapunov第一方法和第二方法是组成系统稳定性分析的一个重要部分[3，4]。不过一般教材和参考书中关于这部分内容，只是介绍和示例了其在稳定性分析中的作用，很少介绍其在非线性系统控制中的应用。所以本文在这里准备对Lyapunov第一方法在非线性系统控制中的应用过程进行解析说明，详细分析了其中应该注意的事项，并通过具体例子进行演示，相关内容可作为学习本门课程学生的一次课外讨论作业。

二、Lyapunov第一方法的主要内容

1.当A的特征值都具有负实部时，系统（2）是渐近稳定的，而且系统（1）的平衡状态xe也是渐近稳定的。

2.当A的特征值至少有一个具有正实部时，系统（2）是不稳定的，而且系统（1）的平衡状态xe也是不稳定的。

3.当A的特征值都不具有正实部，但至少有一个特征值的实部为零，这时系统（2）是稳定的，系统（1）的平衡状态xe的稳定性需要通过其他方法判定。

注记1：上面提到的稳定性与渐近稳定性均指Lyapunov意义下的稳定性与渐近稳定性。其中Lyapunov意义下的稳定性表示的是一种不发散的性质（类似有界性），Lyapunov意义下的渐近稳定性表示渐近收敛性。这些在一般教科书里都进行了详细的定义说明。

注记2：如上所示Lyapunov第一方法包含三个内容，这都可以作为进行非线性系统平衡点稳定性分析的基础。不过在进行非线性系统稳定性控制研究时，一般我们是先设定控制目标，即设定反馈后的闭环系统关于某个平衡点是渐近稳定的，所以实际上参考的内容只有第一部分。

三、在非线性系统稳定性控制中应用的注意事项

1.平衡点的稳定性。Lyapunov第一方法中的稳定性和渐近稳定性分别表示的是平衡点的稳定性，所以必须保证设定值是闭环系统的平衡点。即

f（x*，g（x*））=0。

2.增量的线性系统方程。从公式（1）（2）的推导过程可知，进行局部线性化以后得到的线性系统变量y=x-x，即为原状态变量的增量，所以在进行控制设计的过程中通过平衡点的平移，变为增量的线性系统。

3.变量还原。对增量的线性系统进行反馈控制设计之后，进行控制变量和状态变量的还原，代入原控制系统中，再进行系统的仿真验证。

四、实例分析

五﹑仿真

参考文献：

[1]魏萍，冯爱祥.研究生课程“非线性系统”的教学思考[J]. 科教文汇，2015，（316）：58-59.

[2]贺俊吉，赵明，许晓彦，解翔.非线性系统控制系统教学中存在的问题和改进方法探讨[J].教育教学论坛，2017，（13）：183-184.

[3]吴麒.自动控制原理（下册）[M].北京：清华大学出版社，2002.

[4]胡寿松.自动控制原理[M].第五版.北京：清华大学出版社，2011.

[5]Hassan K.Khalil.非线性系统[M].第三版.朱义胜，董辉，李作洲，等，译.北京：电子工业出版社，2011.endprint