数学化归思想在中学数学中的应用案例

姚廷监

【摘 要】数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质，是培养学生学习能力的桥梁。化归思想就是把待解决的问题通过转化过程，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题之解答的一种手段和方法。化归思想是初中数学中一种常用的重要的数学思想，它能使问题化繁为简，化难为易，提高学生的综合解题能力。文章从化归思想的特性出发，结合具体案例进行分析并提出了培养学生化歸思想的有效策略。

【关键词】中学数学；化归思想；案例研究

数学思想方法反映着数学观念、原理及规律的联系和本质，是培养学生学习能力的桥梁。在数学中，我们通常采用化归思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。化归思想，是解决数学问题的一种重要思想，它贯穿于整个数学。对初中学生来说，能熟练、灵活运用这一方法，可减轻不少负担，更会因此而爱上数学。因此，化归思想为提升学生解决问题的能力，培养学生的数学素养发挥着重要的作用。

一、化归思想的特性

（一）设计化归目标，确保化归实效

化归作为一种思想方法，包含了化归的目标以及化归的方法和途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象，要设计好目标，选择好方法。而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，要把要解决的问题化归为规律问题，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

（二）力求等价性，确保逻辑正确

化归包括等价化归和非等价化归。中学数学中的化归多为等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

（三）注重多样性，研究转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法。因此研究设计合理、简单便捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都生搬硬套的方法，以免造成繁难不堪。

二、化归思想在数学教学中的应用案例

（一）把新问题转化为旧问题

把新的问题转化为熟悉的问题，运用学生熟悉的知识、经验和问题来解决。同样，能将待解决的新问题化归为一个比较熟悉的问题，就可以将已知的知识和经验用于面临的新问题，以此激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，那么就更有利于问题的解决。

例如，教材中解二元一次方程是通过降次化归成一元一次方程；解二元一次方程组或三元一次方程组是通过消元化归成一元一次方程或二元一次方程组；解分式方程是化归成整式方程；异分母分数的加减法，通过通分转化成同分母分数的加减法；多边形的内角和问题转化为三角形的内角和来解决；梯形的中位线问题转化为三角形的中位线来解决。这些问题都是通过化新问题为旧问题，从而使问题得以解决。

（二）特殊问题与一般问题的转化

特殊问题与一般问题的转化是数学化归的常用方法之一，其主要是利用学生学过的各种知识和数学的整体统一思想，将碰到的难解决的特殊问题转化为一般的知识点，或将一般的问题转化为特殊问题，然后通过套用公式或定理等解决问题。

例如：如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB与小半圆相切，且AB∥CD。AB=6cm，求图中阴影部分的面积。

（三）化代数问题为几何问题

化代数问题为几何问题，即为数形结合。我们往往把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系，与几何图形的位置关系相结合，以形论数或以数论形。因数能入微，形可直观，二者结合起来能使隐含的条件明显化，使抽象的概念形象化，使繁杂的运算简捷化，最终灵活、直观地解决问题。

三、化归思想在数学教学中的运用策略

（一）注重基础知识，完善知识结构

具有扎实的基础知识、掌握完整的知识结构是实现化归的基础。教学实践告诉我们，区分数学优等生与差生的第一标准就是基础知识及知识结构掌握的程度。教师在教学过程中要夯实基础、完善知识结构，重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础；养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础；完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。

（二）培养化归意识，提高转化能力

数学各部分之间的相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细地观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

（三）深入数学教材，反复提炼与总结

在数学教学中，要善于挖掘教材中蕴含的化归思想方法，注意不断总结化归法解题的一般原理，提炼其中蕴含的思想方法，把化归思想方法的教学融于各个环节之中，让学生切实感受到化归思想方法的存在形式及其发挥的作用。在概念形成、运用的过程中渗透化归思想；在定理、公式的探究和发现过程中深化化归思想方法；在问题解决过程中领悟化归思想方法；在知识的归纳总结过程中概括化归思想方法。在教学过程中让学生逐渐悟出数学中常常把新知识转化为已有知识、把一般转化为特殊的解决问题的思路和方法。

总之，在数学教学中，教师要重视数学思想教育，特别是化归思想在数学课中的运用，发挥其功效，从而培养学生的创新能力和实践能力。在初中数学教学中，要让学生知道知识的产生与发展的过程，应尽力向学生渗透化归思想，培养学生运用化归思想的能力，充分发挥化归思想方法的指导作用。对学生进行化归思想的培养，其目的就是让学生形成良好的思维品质，让学生能接受扎实的素质教育和创新教育，让学生健康、全面地发展。