中学数学开放题教学探析

◎罗远峰

中学数学开放题教学探析

开放题的产生

◎罗远峰

1971年，在日本以岛田茂为首的一些学者提出了数学开放题的概念，开始注意到开放式数学教学价值，它能丰富并改善教学。1980年美国数学教师理事会提出“问题解决是数学教学的核心”，并借助于问题解决这一教学模式成功介入到数学开放题中来。开放题做为问题解决的产物，在美国中小学已普遍出现并使用。在国内，90年代，开放题在数学教材中出现并进行试验教学。1998年，数学开放式题首次出现在全国高考试卷中[殷容仪. 高中数学开放题教学过程中若干问题的研究[C],华东师范大学，2004(10).56-60]。一般地说来，问题性习题和探索性习题可统称为开放型题。

怎样进行开放题教学

一位好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学.一种好的教学也并非是把数学内容解释清楚，阐述明白就足够了。教师必须要让学生自己研究数学，或者和学生们一起做数学；教师应积极为学生创设问题解决的情景，让学生通过观察、试验、归纳、作出猜想、发现模式、得出结论并证明、推广等等。只有当学生通过自己的思考建构起自己的数学理解力时，才能真正学好数学，从而培养学生的创新精神和实践能力。

在七年级进行开放题教学时，可以先让每个学生都尽早地接触一些很简单的开放题，以让他们有一个粗浅的感性的认识.如浙教版七年级教材上册中的一些题目：提供一个能用算式（1-43%-37%）×2500解决的实际问题情境，算出结果，并说明计算结果的实际意义。在第五章一元一次方程中有：给出两个不同的方程，使它们的解都是；编一个实际应用题，要求所列的方程为15x+45y=180等。而后的学习对所给的开放题稍加难度和设有梯度，可增加一些开放题的类型。如用24根同样的火柴棒搭成5种不同的三角形，各边长分别是多少？通过小组合作交流写出所有的情况（共有12种），并将这些三角形进行分类（可按最大边、最大角或三边的关系等多种角度来分）。告诉学生这是一道结论开放题.又如已知：如图Rt△ABC中，∠C=90°，沿B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合， ，求证： BD=AD（请在横线上添加一个条件，方法尽可能的多）。[戴再平. 初中数学开放题集[M]，上海教育出版社，上海, 2000年5月第一版,82-85]

告诉学生本例是一个条件开放题，可填的条件有13种以上……通过一道道一类类开放题的研究，可以有效地培养学生的自主探究能力、分析和解决问题的能力。

在浙教版第六章的“因式分解”一章中，最主要的是学习因式分解的两种常用方法，即提取公因式法和运用公式法(平方差公式，完全平方公式)；在上完这章后，便可设计下面这道开放题：先在下面横线上分别填上适当的数或式，然后把所得的多项式进行因式分解(要求所填类型尽可能丰富，填后所用的方法也尽可能多样)：

_______a +_______b =_______

本问题中的横线上可填的数或式显然有无数多种，如从提取公因式法考虑：（1）只填数，如2和2，2和4等；（2）只填字母，如m和m， m2和m3等；（3）数与字母结合，如2m和4m，－3x2和6xy2等；（4）填多项式，如－5（x+y）2和15（x+y）3等.从运用公式法考虑：（1）填a和－b或9a和－4b等运用平方差公式分解；（2）填a和±（2a+b）等运用完全平方公式分解。

到了高中，学生对开放题的基本知识和各种类型已经比较了解，教师要在此基础上对各种类型的开放题解答方法进行归类总结，以达到举一反三、触类旁通之效，并对学生进行开放题的题组训练。

例如： (《高中平面解析几何》习题四第11题)求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线方程。

解法开放：通常是先求交点坐标，再由交点坐标求直线方程。如果对由目标分解出的两个要素进行适当解释：过交点——由两曲线方程组成的方程组的解是所求方程的解，直线——所求的方程为一元二次方程，那么，只要由第一条曲线方程乘以3与第二条曲线方程相减便可得到所求的直线方程7x-4y=0；如果从“直线”入手，再考虑“过交点”，则可引入直线方程，运用待定系数法求解。

在教学过程中，让学生自己去慢慢感受开放题的特点，如有条件开放型、结论开放型、综合开放型、动手操作类开放探究性试题等等，逐步体验做开放题的乐趣，在多次体验的基础上也训练了学生思维的灵活性、深刻性、和发散性。

开放题具体教学操作，可据老师和学生的不同情况，选用下列形式中的一种或几种：

形式一：教师给出问题后，由每个学生独立思考各种方法，体现动手实践，自主探索的学习方式。

形式二：教师给出问题后，由学生边思考边发言，使课堂上多种教学活动如观察，猜测，验证，推理，交流等得到全方位的训练. 在过程中，当某个学生回答出某种方法后，教师可让他自己讲出其中的道理，也可由其他同学简要地说出该画法的道理。

形式三：教师给出问题后，可对全班同学进行分组，采用“合作学习”的模式。先在小组内进行合作，探讨，交流，然后在班里进行以小组为单位的交流或开展组与组之间的比赛。

形式四：在前面某些活动的基础上，由每班的数学科代表组织各小组长整理出所有的方法，并可撰写成小论文，进行班与班之间的评比，或向校报、校刊或其他地方投稿。

数学开放题的基本类型

1.题型结构开放型，如：条件开放型、结论开放型、综合开放型等。

2.规律发现类开放探究性试题

3.学习迁移类开放探究型

4.动手操作类开放探究型

5.“问题——任务”类开放探究型

6.图形构造类开放探究型

7.新定义类开放探究型

8.课题学习类开放探究型等等。

开放题教学还应关注以下几点

让学生经历数学知识的形成过程。数学教学应把数学学习作为一种数学思维活动来进行，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、问题结论的深化过程、方法能力的迁移过程，要把培养学生的创新意识作为基本目标，鼓励学生独立思考，逐步形成和发展学生的数学探究能力和创新思维能力。

重视问题变式训练。在问题变式教学中，教师或通过对命题结论的改变，引出新命题；或通过对命题条件的改变，引出新命题；或通过特殊到一般联想，引出新命题；有时还可以引导学生思考以下几个方面的问题：这一问题有哪些特例，还能否推广，它的反面情形如何，逆向思考结果怎样，与其相关问题结合起来情形如何。这样的变式训练不但有利于学生更好地数学知识的本质内涵，而且也是培养学生思维能力的有效途径，从而可以有效地提高解决开放探究性问题的能力。

重视数学活动和课题学习的教学。数学活动和课题学习是新课程、新教材的特点和亮点之一，加强数学活动和课题学习的教学是提高学生解决开放探究性问题能力的一条行之有效的途径，这些内容的教学也为教师有效地渗透探究方法提供了一个很好的平台，使学生学会有效地观察、归纳、类比、猜想等。

重视数学思想方法的有效落实。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它源于数学本身的发展历程，发展于数学应用实践中，它是数学文化的核心，是沟通数学知识与数学能力的桥梁，普遍指导着数学问题的解决。因此教师在平时教学及复习中，应先对教材深钻细研，深入挖掘知识体系中所蕴含的思想方法，编选习题时应返璞归真，突现思想方法立意。

数学开放题的教学，与传统的教学比较，是一个崭新的教学模式，这个教学模式能够充分发挥学生的研究性学习思维，拓宽学生的思路，提高学生分析问题和解决问题的能力，在此过程中，老师要把握好教学尺度，恰到好处地对学生进行提示和指导。

遵义师范学院 数学学院）