不等式恒成立(有解)问题的转换策略

江苏省常熟中学 (215500)

王 波

不等式恒成立(有解)问题的转换策略

江苏省常熟中学 (215500)

王 波

江苏省常熟中学参加了由苏锡常镇四市统一的高三第一次模拟考试，学校继续在苏州大市领跑，笔者特别关心数学一模的考试分析，通过对本班(物化班)和平行班的分析，得出了学校在难题上领先其他兄弟学校的结论，说明平时在中上等题上备课组所做的工作是充分的，特别是第19题导数问题，不等式恒成立(有解)问题一直是考试的重点和难点，主要有变量分离、函数性质和函数图像等几种办法，近几年不等式恒成立问题频频亮相于各地的高考及模拟题中，现通过例题的多种解法和大家一起探讨一下不等式恒成立(有解)问题的转换策略.

1.单变量的不等式恒成立(有解)问题

(2017苏锡常镇一模)已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a为正实数，且为常数)．

(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

第(1)问略，第(2)问等价转换成当x>1时f(x)≥0，当0

(2)当0

综上所述，0

教学反思：这一道是用了分离变量和罗必塔法则来求解恒成立问题，在江苏高考中这一种解法是没有分数的，因为罗必塔法则是大学里的内容，超出了考试大纲的范围，在这一次苏锡常镇的一模考试中，如果用了这种方法，也是没有分数的，所有我们要对学生说明恒成立问题到最后需要用罗必塔法则的，要重新用另外的方法去做题.

解法2:(函数性质)第(2)问等价转换成当x>1时f(x)≥0;当0

x(1，x0)x0(x0，+∞)f′(x)-0+f(x)减极小值增

所以f(x)

当20(因为令n(a)=ea+1-2a，n′(a)=ea-2>0，所以n(a)>n(2)>0)，又因为m(x)在(0,1)上单调递减，所以由零点存在定理，存在x0∈(0,1)，使得m(x0)=0.

x(0，x0)x0(x0，1)f′(x)+0-f(x)增极大值减

所以f(x)>f(1)=0,当x∈(x0,1),矛盾.

综上所述，0

教学反思：以上解法是大部分同学做的一种方法，很多同学扣分的原因在于对于极值点存在性没有去证明，而且要证明唯一性，所以必须利用零点存在定理加单调性去证明，解题思路要严密，完美.当然还有一种非常类似的解法可以和大家分享.

(1)当01时，m′(x)>m(1)=2-a>0恒成立，所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，m(x)>m(1)=2-a>0，所以f′(x)>0恒成立，f(x)在(1,+∞)上单调递增，f(x)>f(1)=0得证.

当0m(ea-2)=-ea-2+1>0，所以f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)

(2)当21.

x(1，x0)x0(x0，+∞)f(x)-0+f(x)减极小值增

所以当x∈(1,x0),f(x)

教学反思：解法3比解法2好，因为这样处理，零点可以直接求出，列表求单调性比较容易，函数的值域很容易可以看出，我们引导学生解题时，要比较这两种办法的优缺点，从而在今后的教学与测试中，对这类问题有非常深刻的认识，达到举一反三的效果.最后还有一种办法也是非常经典的.

解法4：(变形恒成立问题)第(2)问等价转换成当x>1时，f(x)≥0；当0

令ω(x)=x2+(2-2a)x+1，对称轴x=a-1，当a-1≤1，即0ω(1)=4-2a>0，所以φ′(x)>0恒成立，φ(x)在(1,+∞)上单调递增，φ(x)>φ(1)=0得证.当2

x(1，x0)x0(x0，+∞)φ′(x)-0+φ(x)减极小值增

所以当x∈(1,x0),φ(x)<φ(1)=0，矛盾.

(2)当00，φ′(x)>0恒成立，φ(x)在(0,1)上单调递增，φ(x)<φ(1)=0得证.

当20)知存在x0∈(0,1)，使得ω(x0)=0.

x(0，x0)x0(x0，1)φ′(x)+0-φ(x)增极大值减

所以当x∈(1,x0),φ(x)>φ(1)=0，矛盾.

综上所述，0

教学反思：这种方法中二次函数的零点存在问题不用去证明，由图像即知，相比较前几种方法，求导以后没有超越函数，分子是二次函数，很多同学利用根的分布很容易处理二次函数的正负问题，容易得到原函数的单调性，也避免了求二阶导数.所以在教学中，要引导学生打开思路，多去尝试各种方法，比较各种方法的优劣，利用最容易求导的函数去研究函数的单调性和值域问题，从而加深对导数的理解.

2.多变量的不等式恒成立(有解)问题

(1)若函数f(x)在(1,+∞)上为减函数，求实数a的最小值；

(2)若存在x1,x2∈[e,e2]，使f(x1)≤f′(x2)+a成立，求实数a的取值范围．

命题“若∃x1,x2∈[e,e2],使f(x1)≤f′(x2)+a成立”等价于“当x∈[e,e2]时，有f(x)min≤

教学反思：这种解法主要是先转化成一个变量的恒成立问题，再利用函数性质去解决恒成立问题，求函数的最小值时利用分类思想，可以说这题的分类讨论思想非常典型，可以把高中的知识融会贯通，给学生以醍醐灌顶的感觉，当然这道题还可以利用变量分离思想，简化解题步骤.

教学反思：通过分离变量，恒成立问题很容易求解，前提是变量分离以后函数的最值好求，如果最值要用罗必塔法则去求，那么这道题必须用函数性质去研究恒成立问题，在教学中，我们要用例题充分展示两种方法的优劣程度，进而提高学生的解题能力.

3.不等式恒成立(有解)问题的一般方法和主要思路

第一步：先把多变量问题分解成求每一个单变量问题的恒成立(有解)问题.

第二步：当对每一个变量做恒成立(有解)问题时，另一个变量看成是一个参数.

第三步：对每个变量研究恒成立(有解问题)时，我们可以用两种方法考虑，(1)变量分离法，一边是参数，另一边是变量，尽量分离成函数的最值容易求的形式.(2)函数性质法，研究带有参数的函数最值问题，尽量把函数转换成一阶导数，按照参数讨论函数的单调性.如果一阶导数研究问题困难，那么可以进行两阶求导，最终达到极值点好求，或者容易看出有极值点的情况，比如说二次函数，反比例函数，直线，三次函数等，如果不好求出极值点，对于复杂函数要利用零点存在定理，证明零点存在(即极值点是存在)，再去列表，研究函数单调性和最值.

第四步：分清恒成立(有解)问题对应的函数最值，如果没有最值要仔细考虑等号是否取得的情况.

第五步：写出结论，检验合理性.

4.填空题中恒成立(有解)问题还可以通过图像解决

(2017扬州市高三期末)已知函数f(x)=x(1+a|x|)(a<0)，若f(x+a)≥f(x)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

图1

教学反思：图像法研究恒成立问题一般在填空题中会考察，要熟练掌握一些基本函数的图像与性质，大题中一般考察上面第三点的知识与步骤，需要课后多去反思及熟练应用,最终达到数学学习举一反三的能力.

5.知识梳理，总结回顾

含参不等式的恒成立(有解)问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立(有解)问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式，其破解方法主要有：分离参数法、函数性质法、数形结合法等.

(1)分离参数法：分离参数法是解决含参问题的基本思想之一，对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的性质就可以解决问题．

(2)函数性质法：利用导数研究函数的性质，是处理含参问题的重要数学思想方法，通过求导，确定函数的单调性，极值，并结合零点性质确定参数的范围.

(3)数形结合法：数形结合是一种重要的数学思想方法，其要点是“见数想形，以形助数”以达到解决问题的目的，数形结合是破解含参不等式恒成立问题的又一主要方法．

我们要重视方法的积累，高考复习千头万绪，只有夯实基础，总结解题思路，才能在考试中立于不败之地.

[1]李敏.“罗必塔法则”在函数不等式恒成立中的应用[J].上海中学数学，2015(11)：20-22.

[2]郑一平.常规的分离参数解法为何半途而废[J].数学通讯，2014(4)：12-13.

[3]张惠.函数恒(能)成立的等价转换问题[J].福建中学数学，2017(3)：4-5.