基于三惯量模型的柔性进给系统建模及仿真*

骆 飞，李学伟，高 军，彭庆梁

(1．山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255000；2．西安瑞特快速制造工程研究有限公司，西安710054；3.泰山学院 机械与工程学院，山东 泰安 271000；4.淄博市规划设计研究院，山东 淄博 255000)

基于三惯量模型的柔性进给系统建模及仿真*

骆 飞1，3，李学伟1,2，高 军1，彭庆梁4

(1．山东理工大学 机械工程学院，山东 淄博 255000；2．西安瑞特快速制造工程研究有限公司，西安710054；3.泰山学院 机械与工程学院，山东 泰安 271000；4.淄博市规划设计研究院，山东 淄博 255000)

针对柔性进给系统速度环控制参数难以精确整定的问题，文章通过建立机床柔性进给系统的三惯量模型，采用根轨迹法和统计分析法对速度环进行了PI参数整定，并根据最短调整时间确定了速度环控制参数与柔性机械传动系统特征参数之间的关系式。仿真实验表明，该方法能够简单有效的通过机械传动系统惯量比和前两阶固有频率得到准确的控制参数，并获得快速、稳定的系统响应特性；依据该方法整定的系统响应比频域法更快速；与根轨迹法整定结果相近，但该方法的计算过程比根轨迹法简单的多，更适用于实时在线辨识和整定。

柔性进给系统；参数正定；三惯量模型

0 引言

随着人们对数控加工速度、精度需求的日益提高，进给系统的动态特性对数控加工精度的影响日趋突出。目前，数控机床进给系统普遍由机械传动环节和三环控制环节两大部分组成，机械传动环节的动态特性和控制参数共同决定了进给系统的动态特性，而控制参数的确定则取决于机械传动环节的动态特性。因此研究机械传动环节的动态特性对进给系统的结构设计及优化、控制参数整定及进给系统的精确运动控制具有重大的指导意义。

研究表明，传动系统的刚度薄弱环节是造成进给系统震荡、影响系统响应速度的最主要因素[1]。不同机械传动系统的薄弱环节造成的谐振频率分布各不相同，高阶频率由于被滤波器滤除,因此影响系统振荡的主要是低阶固有频率。很多学者在研究机床频率特征的过程中对第一阶固有频率进行分析，也就是将最薄弱环节作为研究对象，并将机械传动环节简化为单惯量或者双惯量模型：王永强[2]以单惯量二阶系统为参考模型，提出基于Lyapunov稳定性理论建立模型参考自适应系统；王磊[3]提出了一种进给系统动力学模型，分析了系统的第一阶固有频率对机械此图动态响应的影响；李学伟[4]将进给系统简化为双惯量模型，并将联轴器作为传动系统中刚度最小的环节，通过分析得到影响系统控制参数和性能的因素。

PID控制算法是迄今为止最为通用的控制策略[8-13]，目前可以分为两大类：基于模型的方法和基于规则的方法。陈鹏展[5]通过对一阶惯性加滞后模型的控制参数进行寻优，获得可以应用于一阶惯性加滞后被控对象的最优整定公式；为了得到更精确的系统模型，康亚彪[6]将机械传递环节简化为二阶振荡环节，利用工程整定方法对系统参数进行整定，并用阶跃信号对其进行仿真。

目前，数控机床机械传动系统普遍采用电机+丝杠+螺母+工作台(滑台)结构，轴承和导轨为主要支承部件[9]。每一部件以及部件与部件间的链接环节都对机械传动系统的动态特性产生影响，简单的将进给系统看成刚性或双惯量模型，不考虑机械传动系统的谐振或仅考虑其一阶谐振频率进行建模难以准确描述柔性系统的动态特性，进而影响柔性进给系统的控制参数整定及运动控制的精度。

在影响机床震荡的薄弱环节中，前两阶的共振频率点很近，并且第二阶固有频率对第一阶固有频率有很大的影响，进而影响了进给系统的参数正定和运动控制精度。两个频率点之后的共振频率距离相对较远，经过滤波处理后对进给系统的动态特性影响可忽略。为了分析机械系统前两阶固有频率对柔性进给系统动态特性及运动控制精度的影响，本文建立了三惯量的模型，利用根轨迹法和统计分析法对速度环进行控制参数整定，比较双惯量与三惯量模型的仿真结果，并分析三惯量模型中影响进给系统动态特性的主要因素及其影响规律。

1 伺服进给系统机械结构数学模型

1.1 机械传动装置数学模型的建立

机床进给系统的机械传动装置主要由驱动电机、联轴器、轴承滚珠丝杠副以及工作台等部件组成，图1是进给系统结构简图。

图1 机床进给系统结构简图

为了便于计算与分析，将图1中的机械传动装置简化为图2 所示的机械传动机构等效动力学模型。

图2中，Tm为伺服电机的输出转矩，JM是电机转子输出惯量，JS是滚珠丝杠的等效转动惯量，Jl是工作台的等效转动惯量，θ1为电机输出转角，Ts是驱动丝杠转矩，θ2为丝杠的输出转角，Tl为驱动工作台的转矩，θ3为工作台输出转角。

图2 三惯量模型示意图

根据图2模型，推导出三惯量系统传动的动力学方程：

(1)

(2)

(3)

式中，c1为联轴器结合面的阻尼系数；

c2为丝杠螺母副的阻尼系数；

k1为联轴器刚度；

k2为滚珠丝杠、螺母组件以及工作台之间的等效扭转刚度。

根据上述动力学方程，进行拉普拉斯变换求得该系统传递函数：

(4)

1.2 机械传动结构中各参数的计算

根据进给系统的结构，结合机床实际工作情况，可以得到以下相关的参数：工作台质量为365kg，联轴器质量0.3kg，联轴器转动惯量Jc= 0.00016kg·m2，联轴器扭转刚度为kc=1400 kg·m· rad-1，伺服电机的转动惯量Jm=0.0023 kg·m2,，丝杠直径d=0.032m，丝杠导程h=0.012m，丝杠长度ls=1.6m，工作台的位置刚度ln=1.58m。丝杠螺母的接触刚度kn=6.79×107N·m-1，材料的弹性模量E=2.06×1011N/m2材料的剪切模量G=8.1×1011N /m2。

(1)计算等效转动惯量

1)滚珠丝杠转动惯量的计算

(5)

2)工作台转化等效转动惯量

(6)

(2)计算等效扭转刚度

1)计算滚珠丝杠的扭转刚度

(7)

2)计算螺母组件与工作台的等效扭转刚度

(8)

则：k11=216.59N·m/rad

k2=214.66N·m/rad

(3)轴的扭转阻尼的计算

阻尼的大小与传动零件、润滑条件、工作情况等很多因素有关。文献[1，8]详细描述了对阻尼计算的公式。

(9)

式中，D为阻尼比，一般取0.005～0.02，本文取0.005。

2 三惯量进给系统的PI控制参数整定

伺服系统一般包括电流环、速度环和位置环三个控制环节，其中电流环为内环，速度环与位置环为外环。设置的电机参数如下：电枢电阻R=3.2Ω，线圈电感La=0.0202H，转矩系数Kt=0.84Nm/A，SPWM放大倍数Kpwm=7.78V/A，时间常数Tpwm=27.8μs，电流环反馈滤波常数Ti=6.3ms，速度环滤波时间常数Tif=0.19944μs，速度环检测放大系数Kvf=1。

2.1 伺服系统电流环整定

电流环主要由电流控制器、逆变器、和伺服电机组成，如图3所示。图中：Tif为电流滤波时间常数，Ka为电流检测增益，Tpwm、Kpwm分别为逆变器时间常数和增益，Ra、La分别为电枢绕组电阻与电感，Ti、Ki分别为电流控制器积分时间常数和增益。

图3 电流环控制框图

由于电流环只与电机本身参数有关，并且电流环的整定普遍使用零极点对消原则，整定后的时域响应较快，对外环的响应影响很小[8-10]，本文不再介绍电流环整定过程，其闭环传递函数如下：

(10)

电流环时域特性与频域特性如图4所示。

(a)阶跃响应 (b)频域特性图4 电流环整定后的阶跃响应与频域特性

2.2 速度环理论建模及PI参数整定

伺服系统的速度环主要包括电流环、速度控制器、机械传动系统、速度检测器、前馈滤波等环节。电流环按照2.1节的整定设计。分别对各个环节进行建模，可以建立速度环控制模型简图，如图5所示。

图5 速度环控制模型结构图

由于建立的机械传递函数为高阶函数，不能使用“三阶最佳”原则对参数进行整定，本文采用闭环根轨迹来优化速度环PI参数，并对比两种方法结果。

(1)增益参数的确定

速度环控制器的比例增益主要调节速度环阻尼，积分时间常数则用于消除由于负载引起的静差。系统的闭环传递函数可以表示为：

(11)

根据式(11)，可以推出闭环的bode图以及根轨迹曲线图如图6所示。

(a)速度环闭环bode图 (b)零极点分布图图6 三惯量速度环闭环bode图、零极点图

依据上图，为了获得比较平稳的系统输出,取阻尼角最小时的k值为最优参数，记为kopt。考虑速度反馈增益、电流环增益以及扭转系数，则速度环比例增益为：

Kv=kopt·θ·Ka/Kt/Kvf

(12)

依据参考文献[1，7]，可以断定惯量比λ的计算为输入惯量与总惯量之间的比值，三惯量中的两个惯量比λ1/λ2的计算公式：

(13)

式中,θ=J1+J2+J3。

利用根轨迹法得到三惯量的相关增益参数如表1所示。

表1 三惯量机械特征相关参数

依据表1中的参数以及双惯量增益计算公式可以推断，三惯量模型会有两个共振频率点，当频域特性中第二个共振频率点处于无穷大的时候，滤波器会将其滤除，只剩下低频段的共振频率点，而这个共振频率点的传递函数近似于双惯量，因此可以判断其增益计算公式里面包含双惯量公式，有公式：

(14)

由于ω1、ω2、λ1、λ2、kopt是已知的，只需求出公式中b的数值，所以可将公式写为：

(15)

由公式(15)可以看出，当ω1和λ1都为已知的时候，公式可以转变为非多项式的非线性关系式。对公式(15)两边去对数，写出近似方程：

lnk′=lnω1+blnλ1

(16)

对公式(16)做变量替换转换成线性关系：

k=lnk′
A=lnω1
λ=lnλ1

(17)

因此，公式(16)可以转换为：

k=A+bλ

(18)

依据表1对公式(17)、公式(18)进行计算，得出的数据如表2所示。

表2 变换公式后的控制参数

依据表2，对参数b求平均数得到b≈2.6，因此公式(14)可以表示为：

(19)

(2)积分时间常数的确定

双惯量积分时间常数的确定是将传递函数公式转换为含有积分时间常数的关系式，然后根据积分时间常数的根轨迹确定积分时间常数的范围。由于三惯量传递函数为六阶方程，很难推导出以积分时间常数为变量的方程，因此我们根据双惯量的公式假设三惯量积分时间常数公式的范围。由参考文献[7]可知，双惯量积分时间常数为：

(20)

根据双惯量的积分时间常数计算公式，假设三惯量积分时间常数公式为Tv≈a/k，为了求出a的数值，选取Tv=1/k、2/k、3/k、4/k、5/k、6/k几个公式并求出几个公式在系统中的调整时间，依据数据画出调整时间与积分时间常数的关系图，利用表1中的数据对公式进行计算，计算结果如表3所示。

表3 积分时间常数与调整时间关系

依据表3中的数据做出积分时间常数与调整时间的关系图(如图7)，图中1/2/3/4分别对应表4中的数据，图中不同颜色的点分别对应Tv=1/k、2/k、3/k、4/k、5/k、6/k的调整时间。

图7 积分时间常数与调整时间的关系图

可以看出，在增益一定的情况下，随着积分时间常数的增加，最快调整时间的范围是2/k与3/k之间，据此可以推出：

(21)

(3)双惯量与三惯量的对比

根据计算，得出双惯量与三惯量的控制参数。三惯量：Tv=0.0157、Kv=1.71；双惯量：Tv=0.0127、Kv=1.36。将双惯量控制参数放入三惯量系统，利用MATLAB软件对速度环进行仿真对比，如图8所示。

图8 不同惯量速度环阶跃响应

图8中分别为双惯量与三惯量的控制参数在速度环中的阶跃响应。仿真结果表明：三惯量模型的惯量比及前两阶固有频率值分布直接影响控制参数的整定；基于三惯量模型的进给系统阶跃响应的调整时间42ms大于双惯量模型59ms，说明二阶固有频率对进给系统的动态特性具有较大影响，采用三惯量模型进行进给系统建模和仿真，能更准确的描述柔性进给系统的动态特性。

2.3 位置环控制参数整定

位置环是通过位置调节器对数控系统产生的位置指令与实际反馈位置比较的差值进行放大，产生伺服驱动系统的速度指令。将速度环在MATLAB软件里面合并为一个模块(见图9)。Kp为位置环的增益，Kpf为位置环的反馈系数，KDA为数模转化系数，Ts为速度环时间常数。

图9 位置环控制结构图

位置环的反馈系数以及数模转换系数为：

(22)

将式(21)计算的数值代入建立的模型中，将位置环比例调节器系数Kp由小到大逐步仿真，直到将Kp增大至系统无超调，就是最后的整定值，整定结果如图10所示(仿真结果Kp=13.8)。仿真结果表明：基于三惯量模型的进给系统存在两阶谐振，且两阶谐振频率接近，且第二阶谐振频率对参数整定和运动精度控制影响显著。

(a)阶跃响应 (b)频域特性图10 位置环阶跃响应与频域响应特性

3 结论

通过分析数控机床的进给系统，建立了三惯量仿真模型，利用根轨迹法和统计分析法建立了控速度环控制参数与机械传动环节惯量比和固有频率直接的关系式；对双惯量与三惯量数学模型控制参数整定结果仿真，控制参数整定过程和仿真结果表明：机械传动系统的刚度薄弱环节是影响柔性进给系统动态特性的主要因素，机械系统的二阶固有频率对进给系统的参数整定和动态特性具有显著影响；惯量比和固有频率值的分布直接影响参数整定过程和整定后的系统动态特性；采用本文确定的速度环参数整定方法可以快速有效的对柔性进给系统进行控制参数整定。

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SimulationofFlexibleFeedSystemBasedonThreeInertiaModel

LUO Fei1，3， LI Xue-wei1,2, GAO Jun1, PENG Qing-liang4

(1.School of Mechanical Engineering，Shandong University of Technology，Zibo Shandong 255049，China;2.Ruite Engineering Research Center of Rapid Manufacturing, Xi’an 710054, China)

Aiming at the problem that the control parameters of flexible feed system is difficult to determine, a new method is proposed in this paper. In this method, the flexible feed system of machine tool is modeled based on three inertia model, and the PI parameters for velocity loop are determined using root locus technique and statistical analysis method. The corresponding relation between the control parameters and the characteristic parameters of flexible mechanical transmission system is derived. The simulation results show that: the method can be used to obtain the accurate control parameters through the inertia ratio of the mechanical transmission system and the first two natural frequencies quickly and effectively and fast and stable response characteristics of the system are obtained; The system response based on the method proposed in this paper is more rapid than the frequency domain method; The calculation process is more simple than using root locus method, and the method is more suitable for real-time online identification and tuning.

flexible feed system；parameter tuning; three inertia model

TH128;TG506

A

1001-2265(2017)12-0054-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.12.013

2017-03-06；

2017-03-15

国家自然科学青年基金(51505265)

骆飞(1988—)，男，山东济宁人，山东理工大学硕士研究生，研究方向为机电集成及运动控制，(E-mail)372635165@qq.com；通讯作者：李学伟(1981—)，男，山东临朐县人，山东理工大学讲师，西安瑞特快速制造工程研究有限公司博士后，博士，研究方向为机电集成及运动控制，(E-mail)sdut@foxmail.com。

(编辑李秀敏)