滑轮参与的绳连物体加速度问题分类及应用

【摘 要】用不可伸长的绳通过滑轮连接物体（忽略滑轮和绳质量及摩擦，同时与物体接触面均考虑为光滑且物体不跨过滑轮）的运动模型求各连接物体的加速度问题是当前高中阶段理综与物理竞赛考试中常遇到的试题。在学习中很多同学都疑惑不解。本文用三大分类模型及应用，来提高我们对有滑轮参与的绳连物体加速度问题的理解掌握和应用。

【关键词】滑轮；绳连物体；加速度；分类应用

本文由易到难，对有滑轮参与的绳连物体加速度问题进行分类，经总结收集整理出以下三大分类及应用题型，供大家学习参考：

一、分类1——单个定滑轮绳连（无转动）多个物体的加速度问题

如下图1、图2、图3、图4：这类通过单个定滑轮绳连各物体特点是物体均沿绳移动方向运动，即为无转动情况。则：绳连各物体在沿绳移动方向的加速度大小相等（依据是相等时间内各绳连物体的位移大小相等），但方向不同。

这类题型求多个物体的加速度或绳对各物体的拉力计算都较简单，本文通过例1探讨其应用。

例1.如右图5：已知m■、m■、m■的质量分别为4kg、2kg、1kg，忽略滑轮和绳质量及摩擦，重力加速度g，求图示位置绳对物的拉力T■和T■和各绳连物体的加速度。

分析：该类题型通过绳连各物体无转动，则各物体加速度大小相等。

解：本题设m■相对的加速度大小为a，方向向下，则：

m■、m■的加速度方向向上，加速度大小也为a；

根据牛顿第二定律，可分别列方程：

m■g﹣T■=m■a ………①

T■﹣（m■+m■）g=（m■+m■）a ………②

T■﹣m■g=m■a ………③

联立解①②③即可得到：m■的加速度大小g/7，方向向下；m■、m■的加速度大小也为g/7，方向向上；T■=24g/7；T■=8g/7。

二、分类2——单个定滑轮绳连（有转动）物体的加速度问题

如下图6：这类通过单个定滑轮绳连的物体特点是有物体运动方向与绳移动方向不一致（如图6中物体M），即为有转动情况。则：物体在沿绳移动方向的加速度大小不相等（依据是有转动情况下，围绕定滑轮轴转动端的绳连物体M会产生对应的向心加速度）。

这类题型求物体的加速度的计算多出现在物理竞赛试题中，本文通过例2探讨其应用。

例2.如上图7所示，一根长3L的轻绳绕过定滑轮，一端与放在光滑地面上质量为M的物体A相连，另一端栓在质量为m的物体B上，滑轮距地面高度为L。开始时，物体B处在靠近滑轮距地面L高处，且物体A、B间轻绳被拉直。将物体B由静止释放，试求物体B刚触地瞬间物体A、B的加速度。（物体A、B可视为质点，且物体A不离开水平地面）

分析：可判断该题中通过绳连物体A有转动，故物体A、B加速度大小不相等。当B刚触地瞬间，物体A、B所处位置正如图8，此时轻绳与水平方向夹角为30■。

此时物体A：沿水平做直线运动速率v■，对滑轮的运动可分解为两个分运动（见图9）：1.收绳方向其速度大小与收绳速率和物体B的触地瞬间速率v■相等；2.绕滑轮或收绳方向切向下的转动速率v■■。物体A的加速度a■也沿水平直线方向见图10，其加速度的分解与速度分解类似，收绳方向其加速度大小a■■。因为物体A绕滑轮有转动速度，导致物体A有向心加速度a■■，所以a■≠a■，其关系应该是a■■=a■+a■■。

解：物体B刚触地瞬间整个系统其加速度和速度分解如图9所示，下图11物体A受力图。

物体B由静止释放，到刚触地瞬间，系统机械能守恒：

mgL=■mv■■+■Mv■■………①

根据分析有：v■=v■cos30■………②a■■=a■cos30■……③

对物体A有：Tcos30■=Ma■………④a■■=a■+a■■………⑤

a■■=■=■……⑥

对物体B有：mg-T=ma■………⑦

联立①-⑦方程可解得：

a■=■ a■=■

三、分类3——用绳借助动滑轮提降物体（没转动）的加速度问题

如下图12：这类通过借助动滑轮提升（或下降）物体特点无转动情况，物体B作为轻绳运动端质点，则：物体B向上（下）的加速度大小是物体A向上（下）的加速度的2倍（原因是相等时间内绳连物体A、B的位移大小为2倍关系）。另轻绳固定端到动滑轮接触点间绳上任一质点的加速度均为0（原因是该端质点无位移产生）。该分类仅做结论，将在后面滑轮组中得到应用。

四、应用——滑轮组绳连物体的加速度复杂问题

这类题型是物理竞赛试题中求物体的加速度较复杂的问题（本文仅讨论无转动的问题，有转动的更复杂的问题在以后单独讨论）。特点是多个滑轮参与绳连物体运动模型，各物体的加速度及关系视具体情况灵活应用。本文以例3、例4探讨其应用。

例3.如上图13所示，各悬挂物体的质量分别为m■=3kg，m■=2kg，m■=1kg。求m■、m■、m■的加速度a■、a■、a■。

分析：该题先不考虑滑轮A、m■系统。单独考虑滑轮B、m■、m■系统就是分类一情形：则m■、m■的加速度大小相等设为a■，此时m■的加速度方向向下，m■的加速度方向向上。再考虑滑轮A、B系统，m■的加速度a■（方向向下），此时单独出来的滑轮B系统中的各个物体均受到一个方向向上的加速度a■。于是有：a■=a■-a■；a■=a■+a■；则a■-a■=2a■。

解：再根据各悬挂物体的运动及拉力情况如上图14分别列运动方程：

对m■有：m■g-2T■=m■a■………①

对m■有：m■g-T■=m■a■………②

对m■有：T■-m■g=m■a■……...③

再分析得出的：a■-a■=2a■………④

联立①-④方程可解得：

a■=■g（方向向下）；a■=■g（方向向下）；a■=■g（方向向上）。

例4.如下图15所示，各悬挂物体的质量分别为m■，m■，m■，其中质量为m■的物体向上做加速度运动，忽略滑轮和绳的质量及一切摩擦，求m■的加速度。

分析：该题m■物体向上做加速度运动设为a，可知滑轮B向上的加速度也为a。由分类三易知滑轮A、m■、m■系统向下的加速度为2a。再以滑轮A为参照系（见图16），此时由分类一可得，m■，m■的加速度大小相等设为a■（可设m■的加速度方向向下，则m■的加速度方向向上）。同时整个滑轮A为参照系如图16实际还处于加速度2a向下的运动系中，所以有：

m■的实际加速度a■（方向向下）：a■=a■+2a………①

m■的实际加速度a■（方向向上）：a■=a■-2a………②

解：再根据各悬挂物体的运动及拉力情况如下图17-18分别列运动方程：

对m■有：m■g-T■=m■a■……….③

对m■有：T-m■g=m■a■………④

对m■有：4T-m■g=m■a■………⑤

聯立①-⑤方程可解得：a=■g

通过以上分类应用分析找出各类模型的特点，得出不同模型问题的加速度关系，提高我们对滑轮组绳连物体加速度复杂问题的解题能力，从中体验物理学习中的解题乐趣。

【参考文献】

[1]黄尚鹏.绳牵连物体的加速度及绳转动的角加速度的一般计算方法及其应用[J].湖南中学物理，2011（6）：56-57

[2]江四喜.物理竞赛专题精编[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2013.6（2015.11重印）

[3]曲一线.高考物理（新课标专用）[M].北京：教育科学出版社，2014.6（2015.6重印）

【作者简介】

陶逸（2000-），男，重庆市八中高2018级学生。