基于汉宁双窗apFFT单谱线插值的电力谐波和间谐波检测算法

许鸿飞，张姣姣，庞思睿，李雪梅，金燊，寇晓溪

（国网冀北电力有限公司信息通信分公司，北京100053）

0 引 言

非线性负载和电力电子设备广泛接入电网，给电网注入了大量谐波成分，导致电压、电流波形的畸变，直接影响电网的安全、经济运行。因此，有效检测这些畸变信号中的谐波成分，对电网谐波治理、提高运营的经济性具有重要的意义。

在电网谐波检测的方法中，快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）［1］应用较早，但 FFT难以实现信号的同步采样或整数周期截断，存在相邻频谱泄漏干涉和有用频率点可能不显示的栅栏效应，导致估计的谐波频率、幅值和初相位误差较大。为此，已有学者利用加窗谱线插值拟合的FFT算法［2-8］、小波分析法［9-11］和神经网络算法［12-13］等方法来提高谐波参数的估计精度。其中，加窗谱线插值拟合的FFT算法应用较广泛，该类方法主要是利用性能优良的窗函数和增加谱线来提高谐波的分析精度，其中在无噪声的情况下，以加四项最大旁瓣衰减窗三谱线插值的FFT算法［4］分析的谐波参数精度最高。小波分析法具有良好的时频特性，能够获得较精确的谐波参数，不过由于采样频率的选择不当容易导致高次谐波混入低次谐波的频率范围或低次谐波混入高次谐波的频率范围，影响谐波分析的准确性；且该方法对频率相近的间谐波分析与检测也不太理想，如文献［10-11］。文献［12］采用人工神经元网络对谐波进行分析，虽然谐波分析精度高，但是该方法必须已知系统精确的基波频率；文献［13］指出，多层前馈自适应人工神经网络法需要大量的训练样本，训练过程不确定，神经元较多，计算量较大，且只能分析整数次的谐波。

全相傅里叶变换（all-phase FFT，apFFT）［14］是由学者王兆华等提出的一种新型谱分析方法，相比于传统的FFT，apFFT具有优良的抑制频谱泄漏和抗噪声干扰的性能［15-16］，且各条谱线的相位值与频率偏离值无关，即“相位不变性”［17］。基于apFFT这些优点，本文通过在汉宁双窗apFFT谱分析的基础上，对其离散谱进行研究，并结合FFT单峰谱线插值校正算法的原理，由汉宁双窗apFFT离散谱理论频率点附近的主谱线和旁谱线进行插值校正，即通过旁谱线与主谱线的比值推导出各理论频率点的校正量，然后根据频率校正量和汉宁双窗apFFT的幅值谱，估计出谐波和间谐波的幅值。最后，利用apFFT的“相位不变性”，取频率点主谱线的相位来估计谐波和间谐波的初相位。通过对比仿真实验，结果表明：提出的汉宁双窗apFFT单谱线插值频谱校正算法能够检测出精度更高的谐波和间谐波参数，抗白噪声干扰能力也较强。

1 算法原理

1.1 汉宁双窗apFFT频谱校正

对于单频复指数序列：

式中ω0为序列的数字角频率；φ0为序列的初相位。根据文献［18-19］的推导，当对序列x（n）分别进行加窗（即非矩形窗）FFT（观察区间 n∈［0，N－1］）和双窗（即两个非矩形窗的卷积窗）apFFT（观察区间n∈［－N＋1，N－1］）时，其加窗FFT和双窗apFFT离散谱分别为：

式中F（·）为窗函数的离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）；k＝0，1，…，N－1。

从式（2）和式（3）不难看出，apFFT谱幅值为FFT谱幅值的平方，若采样点不在理论频率点上，就会在理论频率点附近出现一些离散谱线，若设峰值点谱线为主谱线，峰值点附近的谱线为旁谱线，那么对序列做apFFT后，apFFT的旁谱线相对于主谱线以平方关系衰减，使得主谱线更加突出，所以apFFT相比于FFT具有更好的抑制谱泄漏性能。此外，apFFT的初相位φ0与频偏（k－k0）无关，具有“相位不变性”的优点。

一般情况下，当对式（1）序列进行离散采样时，序列的数字角频率ω0（设ω0＝k0Δω）不一定是频率分辨率Δω＝2π/N的整数倍，序列离散后会在理论频率点k0＝ω0/Δω附近出现一条主谱线和一些旁谱线，其分布情况有两种，如图1所示。

图1 两种离散谱线分布图Fig.1 Distribution diagram of two kinds of discrete-spectral-lines

图1中，k*为主谱线位置，k*－1和k*＋1分别为主谱线的左右旁谱线位置，｜Y（k*）｜、｜Y（k*－1）｜和｜Y（k*＋1）｜为对应谱线的模值，α为频率校正量。当频率校正量α估计出后，频率估计值可由主谱线位置k*加上或减去α再乘以频率分辨率而得，即：

式中 取“＋”时，对应图1（a）；取“-”时，对应图1（b）。下面推导理论谱线与主谱线之间的校正量α。

如图1，设理论频率点k0处主谱线和旁谱线分别为 k1＝k*和 k2（k2＝k1＋1或 k1－1），根据式（3），令主谱线和旁谱线的幅值分别为y1＝｜Y（k1）｜和y2＝｜Y（k2）｜，则旁谱线与主谱线的比值为：

设 k0－k1＝±α，则 α∈（－1，1），正负号的选择同前述。当窗函数为汉宁窗时，由于汉宁窗的归一化模函数为：

所以联立式（3）和式（6）可得主谱线和旁谱线的幅值为：

以k2＝k1＋1为例（k2＝k1－1同理可得），即 k1－k0＝－α可得：

由三角函数关系，易知：

联立式（5）、式（9）～式（11），并化简得：

对式（12）求反得频率插值校正量为：

1.2 幅值和初相位校正

由于apFFT继承了FFT的线性时不变性（Linear Time Invariant，LTI），因此，当式（1）序列 x（n）的幅值为A0时，即：

式中n∈［－N＋1，N－1］设，则该序列进行汉宁双窗apFFT后，其幅值谱为：

因此，根据估计的频率校正量，可估计出序列的幅值为：

综上所述，序列 A0ej（ω0n＋φ0）完整的幅值、频率和初相位的校正流程如图2所示。

图2 算法的频谱校正流程Fig.2 Spectrum correction flow chart of the algorithm

2 算例仿真

2.1 算法校正精度分析

在无噪声干扰的情况下，以文献［22］中3.1节的谐波和间谐波信号为例，该信号包括基波、3次、5次、7次和9次谐波，0.5次、3.6次、6.4次和7.6次间谐波，各次谐波和间谐波的幅值和初相位如表1所示。

表1 谐波和间谐波参数Tab.1 Harmonic and inter-harmonic parameters

现保持幅值和初相位不变，并根据我国电网基波频率的波动范围（49.5 Hz～50.5 Hz），调节基波频率，一次调节量为0.1 Hz。设采样点数为1 024，则基波、谐波和间谐波的校正偏差结果如图3～图5所示。

根据图3、图4和图5校正偏差的仿真结果，可以看出，无论是基波、谐波，还是间谐波，它们的频率校正偏差都比较小，偏差在10－4Hz数量级上，频率的校正精度高，表明文中所提的频谱校正算法是有效的。值得注意的是，仿真信号中各成分的校正偏差以基波频率为50 Hz成近似对称，之所以呈现这样的近似对称关系，是因为理论谱线位置随着基波频率的调节量与主谱线成对称关系，即理论校正量与各成分频率点的主谱线成对称关系。因此，仿真结果与理论分析一致，表明本文频谱校正算法是正确的。

图3 基波校正偏差仿真结果Fig.3 Simulation results of fundamental correction deviation

图4 谐波校正偏差仿真结果Fig.4 Simulation results of harmonic correction deviation

图5 间谐波校正偏差仿真结果Fig.5 Simulation results of inter-harmonic correction deviation

2.2 仿真对比

2.2.1 复杂谐波检测

文献［4］三谱线插值FFT算法对谐波信号进行加窗处理的同时，利用理论频率点附近的三条离散谱线对频谱进行插值校正，从而估计出谐波信号的频率、幅值和初相位。该算法在无噪声干扰，加四项最大旁瓣衰减窗三谱线插值时，估计的谐波参数精度最高。本节将考察在较强高斯白噪声干扰下，与文献［4］算法进行仿真比较。仿真信号为该文献中3.2节的谐波信号加30 dB白噪声，其中，基波频率为50.1 Hz，幅值，初相位及其余谐波成分的参数如表2所示。

表2 基波及谐波成分Tab.2 Components of the fundamental and harmonic

设采样点数为1 024，文献［4］算法的采样频率为1 000 Hz，仿真结果如表3所示，频率、幅值和初相位误差如图6所示。

表3 频率、幅值和相位仿真结果对比Tab.3 Simulation results comparison of frequency，amplitude and phase

根据表3和图6～图8仿真结果，不难看出，本文算法估计相位精度要高于文献［4］算法。两种算法估计的频率和幅值误差有大有小，若定义总体误差为：

式中M为谐波数目，Δλh为第h次谐波频率或幅值误差。则文献［4］算法频率和幅值综合误差分别约为1.66×10－3%和0.2%，本文算法的分别约为6.64×10－4%和0.12%。虽然本文算法估计的基波频率、3次谐波频率、7次和9次谐波幅值误差要高于文献［4］算法，但通过计算总体误差可知，本文算法估计的频率和幅值总体误差较小，频率和幅值的总体估计精度较高。

图6 频率误差对比Fig.6 Comparison of frequency errors

图7 幅值误差对比Fig.7 Comparison of amplitude errors

图8 相位误差对比Fig.8 Comparison of initial phase errors

无白噪声干扰时，考察该复杂谐波信号的离散频谱可知，基波和2～5次谐波的频谱分布为图1（a）情形，7次和9次谐波的频谱分布为图1（b）情形。因此，按照本文算法的频率校正原理，基波及各次谐波的理论校正量依次为 0.1 Hz、0.2 Hz、0.3 Hz、0.4 Hz、0.5 Hz、0.3 Hz和 0.1 Hz。通过仿真，基波及各次谐波的校正量偏差结果如图9所示。

根据图9结果不难看出，5次谐波的频率校正精度较高。但从总体上看，校正量偏差均在10－4Hz数量级上，校正精度保持在较高水平。

图9 基波及各次谐波校正偏差Fig.9 Correction errors of fundamental and other harmonics

2.2.2 间谐波检测

与文献［21］算法进行对比分析，文献［21］算法是利用多项式逼近求极值的方法估计出谐波和间谐波的频率，矩阵求逆的方法估计谐波和间谐波的幅值和相位［21］。仿真信号以文献［21］的间谐波信号为例，即式（18）。在无噪声干扰下，对比分析本文算法（方法一）与文献［21］算法（方法二）的准确性。

式中基波频率、幅值和初相位分别为49.9 Hz、380 V和10°，其余谐波和间谐波的参数如表1所示。采样点数仍为1 024，则两种算法的估计的频率和幅值误差如图10所示，初相位误差如表4所示。

如图10和表4可知，方法一的频率和初相位检测误差均要小于方法二，尤其是初相位的误差，其误差不低于在10－7数量级，远小于方法二。方法一的幅值误差除了7次谐波和7.6次间谐波的误差较大以外，基波及其余谐波和间谐波的幅值误差均要小于方法二，方法一的幅值检测精度总体要优于方法二。

图10 两种算法的频率和幅值误差对比Fig.10 Comparison of frequency and amplitude errors of two algorithms

表4 两种算法的初相位误差Tab.4 Initial phase errors of two algorithms

2.3 不同信噪比下基波参数校正精度分析

以式（18）的谐波和间谐波信号作为仿真信号，分别考察信噪比分别为10 dB～100 dB（信噪比增量为10 dB）下基波参数的相对误差，仿真结果如图11所示。

图11 不同信噪比下基波参数相对误差Fig.11 Relative errors of fundamental parameters under different SNRs

图11结果表明：在不同强度的高斯白噪声干扰下，本文算法估计的基波频率误差保持在较小的范围内，且没有明显的波动情况，说明算法频率校正过程受噪声干扰的影响较小，具有较强的抗噪声干扰能力；在≤30 dB白噪声范围内，基波幅值和初相位的相对误差较大，但误差分别都保持在0.005%和0.02%以内；随着信噪比的增大（SNR≥50 dB），幅值和相位误差保持在较小的平稳状态，因此，本文算法在抗高斯白噪声干扰方面具有明显的优势，这主要源自于apFFT相比于传统FFT具有更加有效抑制频谱泄漏和相位不变的特性。

3 结束语

文中提出了一种汉宁双窗apFFT单谱线插值校正的算法。所提算法是在对信号进行双窗apFFT的基础上，充分利用了apFFT幅值谱为传统FFT幅值谱的平方关系和相位谱与频偏无关的特性，考察窗函数为汉宁窗时，结合传统FFT单谱线插值频谱校正的方法，推导出汉宁双窗apFFT的频率校正量，从而估计出谐波和间谐波的频率。然后，根据频率校正量，结合FFT的LTI特性，估计出相应的幅值。由于apFFT具有“相位不变性”，因此，初相位可直接取频率点附近主谱线的相位进行估计。

仿真算例表明，相比于现有的一些谐波和间谐波分析方法，所提算法的谐波和间谐波分析准确度更高，抗噪声能力较强，综合误差较小，表明所推导的校正量是正确、有效的。