一类复微分方程无穷级解的角域测度及Borel方向

王金莲，闵小花，易才凤

(1.江西师范大学学报杂志社，江西 南昌 330022；2.江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌 330022)

一类复微分方程无穷级解的角域测度及Borel方向

王金莲1，闵小花2，易才凤2

(1.江西师范大学学报杂志社，江西 南昌 330022；2.江西师范大学数学与信息科学学院，江西 南昌 330022)

运用亚纯函数的Nevanlinna理论及整函数的相关理论，研究了复方程f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0的无穷级解的角域测度及Borel方向.

微分方程；无穷级；测度；亏值；Borel方向

0 引言和主要结果

本文采用亚纯函数Nevanlinna值分布理论的标准记号.[1-2]记亚纯函数f(z)在整个复平面上的增长级为ρ(f)，此外，令0<β-α≤2π，记

Ω(α，β)={z|α0}，

其增长级为

另外，应用文献[3]给出的如下定义：假设f(z)是ρ(0<ρ<∞)级整函数，对于某个固定的θ，若ρ(θ)=ρ，则称Lθ：argz=θ为f(z)的1条ρ级射线，且ρ级射线充满的角域称为f(z)的ρ级射线角域(由文献[3]可知f(z)的ρ级射线角域不会退化为1条射线).

G.G.Gunderson等人指出：若A(z)和B(z)为有限级整函数且满足ρ(A)<ρ(B)，则2阶微分方程

f″+Af′+Bf=0

(1)

的每个非零解f均为无穷级.在此基础上，周志进等[4]考虑了当方程(1)的所有非零解f均为无穷级时，以原点为始点的无穷级射线角域问题，得到了：

定理A假设A(z)和B(z)是有限级整函数且ρ(A)<ρ(B)(1/2≤ρ(B)<∞)，则使得方程(1)的每个非零解f为无穷级的θ，满足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥π/ρ(B)，其中θ是由原点出发的射线的辐角，即满足argz=θ(0≤θ<2π).

定理B假设A(z)和B(z)是有限级整函数且ρ(A)<ρ(B)，其中B(z)具有有限条Borel方向和q个有穷亏值.则使得方程(1)的每个非零解f为无穷级的θ满足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥qπ/ρ(B).

关于高阶微分方程

f(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0，

(2)

陈宗煊等[5]证明了结果：若Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是整函数且ρ(Ai)<ρ(A0)，则方程(2)的所有非零解f均为无穷级.关于方程(2)的无穷级解的讨论还有不少结果，如文献[6-12]等.本文研究的问题是：当方程(2)的每个非零解f为无穷级时，以原点为始点无穷级射线的角域测度究竟有多大.另外，受文献[13-14]关于方程(1)的无穷级解的Borel方向研究的启发，还讨论了无穷级解的Borel方向，证明了下面2个定理.

定理1假设Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是有限级整函数，且

ρ(Ai)<ρ(A0)(1/2<ρ(A0)<∞；i=1，2，…，k-1)，

则使得方程(2)的每个非零解f为无穷级的θ(0≤θ<2π)满足

mes(θ|ρθ(f)=∞)≥π/ρ(A0)，

并且对任意的θ0∈{θ|ρθ(f)=∞}，由原点发出的射线Lθ0：argz=θ0均为f的无穷级Borel方向.

另外，当条件改为ρ(Ai)<ρ(A0)(0<ρ(A0)≤1/2;i=1，2，…，k-1)，或者Ai(z)(i=1，…，k-1)是多项式，A0(z)是零级超越整函数时，则方程(2)的每个非零解f沿径向Lθ：argz=θ(∀θ∈[0，2π))的增长级ρθ(f)=∞，并且复平面内由原点发出的射线均为f的无穷级Borel方向.

定理2假设Ai(z)(i=0，1，…，k-1)是有限级整函数，

ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1;1/2<ρ(A0)<∞)，

并且A0(z)具有p(0

1 几个引理

引理1[3]若f(z)是级为ρ(1/2≤ρ<∞)的整函数，那么f(z)至少存在1个ρ级射线角域，并且每个ρ级射线角域的开度不小于π/ρ.

注1若ρ=0.5，则至多除去一条例外，复平面内由原点发出的射线均是f(z)的ρ级射线.

的θ具有正测度，则方程(2)的每个非零解f满足ρα β(f)=∞.

引理3[7]设f(z)是复平面上的无穷级亚纯函数.则由原点出发的射线argz=θ为f(z)的1条无穷级Borel方向的充要条件是∀ε>0，都有ρθ-ε，θ+ε(f)=∞.

引理4[13]设f(z)为ρ(0<ρ<1/2)级整函数，则复平面内由原点发出的射线均为f(z)的ρ级射线.

成立的φ(0≤φ<2π)值构成的集合Ejv的测度mesEjv>K(δ，q，ρ)>0，这里K(δ，q，ρ)是仅依赖于δ，q，ρ的正数.

log|f(Rjeiφ)-a0|<-ηU(Rj)

的φ(0≤φ<2π)构成的集合Ej的测度大于正数K′(不依赖于j)，则对于充分小的正数α和大于1的正数Q(Q<1/4α)，当j充分大时，在区域Dj：(Rj/Q≤|z|≤QRj)∩(φ1+10α≤argz≤φ2-10α)上，有

mesE{φ|φ1<φ<φ2，log|f(Rjeiφ)-a1|<-ηU(Rj)}>K′，

mesE{φ|φ3<φ<φ4，log|f(Rjeiφ)-a2|<-ηU(Rj)}>K′

成立，则φ3-φ2≥π/ρ，(φ1+2π)-φ4≥π/ρ.

引理8[3]若f(z)为ρ(0<ρ<∞)级整函数，Lθ：argz=θ是f(z)的任意ρ级射线角域的1条边界，则Lθ必为f(z)的1条ρ级Borel方向.

引理9[3]有穷正级整函数f(z)的ρ级Borel方向必位于f(z)的ρ级射线角域内部或边界上.

引理10[3]设整函数f(z)的级ρ>1/2，并且f(z)的某一ρ级射线角域G内没有ρ级Borel方向，则G的开度必为π/ρ.

2 定理的证明

由于ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1)，则∀K>0及∀θ∈(α，β)，有

另外，若0<ρ(A0)≤1/2，则由注1及引理4，并运用类似于上面的证法以及整函数沿径向上的增长级的定义，即可知方程(2)的每个非零解f沿径向Lθ：argz=θ(∀θ∈[0，2π))的增长级ρθ(f)=∞.

若Ai(z)(i=1，…，k-1)是多项式，A0(z)是零级超越整函数，也用类似于上面的证法可得方程(2)的每个非零解f沿径向Lθ：argz=θ(∀θ∈[0，2π))的增长级ρθ(f)=∞.

由引理3知在以上2种情形下，复平面内由原点发出的射线均为f的无穷级Borel方向.

对A0(z)，取α使得0<α

再次运用引理6， 则在弧段{Rjeiφ|φm2+10α≤φ≤φm2+1-10α}上有

且根据引理7知G1与G2不会相邻.类似于上面的证明， 在G1∪G2内， 下列集合

从而由最大模原理可知A0(z)在每个角域Gv内有界，再由引理7知，由上述q个角域Gv的边界所构成的另外的q个角域Ωv(v=1，2，…，q)的开度都不小于π/ρ(A0).由引理8和引理9，这q个角域Ωv(v=1，2，…，q)都是A0(z)的ρ(A0)级射线角域.再由ρ(Ai)<ρ(A0)(i=1，…，k-1)，则在A0(z)的每个ρ(A0)级射线角域Ωv(v=1，2，…，q)内类似于定理1的证明并运用引理2，即可证明使得方程(2)的每个非零解f为无穷级的θ，满足mes(θ|ρθ(f)=∞)≥qπ/ρ(A0).特别地，当p=2q时，由引理10可知这q个角域Ωv(v=1，2，…，q)的开度都等于π/ρ(A0)，所以在这种情形下上式取等号.

最后，由引理3可知，∀θ0∈{θ|ρθ(f)=∞}，由原点发出的射线Lθ0：argz=θ0均为f的无穷级Borel方向.

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TheangularmeasureandBoreldirectionofinfiniteordersolutionsofaclasscomplexdifferentialequations

WANG Jin-lian1，MIN Xiao-hua2，YI Cai-feng2

(1.Periodical Office of Journal，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China；2.College of Mathematics and Informatics，Jiangxi Normal University，Nanchang 330022，China)

It was investigated that the angular measure and Borel direction of infinite order solutions of linear differential equationsf(k)+Ak-1f(k-1)+…+A1f′+A0f=0 by using the Nevanlinna theory and the correlation theory of entire function.

differential equation；infinite order；measure；deficient value；Borel direction

1000-1832(2017)04-0020-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.04.005

2016-09-28

国家自然科学基金资助项目(11171170).

王金莲(1963—)，编审，主要从事复分析和编辑学研究.

O 174学科代码110·34

A

(责任编辑：李亚军)