MPCK视角：促进儿童深度学习数学

作者简介

刘晓萍，女，中学高级教师，苏州市中小学数学学科带头人，现任苏州市教育科学研究院小学数学教研员，多次参与苏教版小学数学教材的编写，曾在《江西教育》《中小学教师培训》《课程教学研究》《今日教育》等多家期刊发表数十篇论文，其中多篇论文被人大复印中心全文转载或者索引。

所谓MPCK，即是教师关于特定数学内容如何组织、表征和调整以适应学习者不同兴趣和能力，从而进行有效教学的知识。鲍银霞教授调查得出：“小学数学教师在内容维度上最为薄弱，教学维度和学生维度上存在许多亟待解决的问题。”一语中的，我们数学老师唯有不断提高自己的MPCK，才能实现克莱因所期望的“高观点下的初等数学教学”，才能帮助学生通过深度学习，促进思维的发展。

一、内容维度：从招式走向专业

王永春老师曾在一次报告中说读懂教材是教师的基本功。专业化的数学内容解读，就是要求教师用全方位、立体化的视角去钻研教材，掌握每一节课教学内容“是什么”“为什么”，了解它在板块中的位置、意义、作用，与其他内容的纵联关系，依照知识的逻辑性、系统性、连贯性的顺序，实现教学内容的新旧联系、从低到高、螺旋上升，以知识序确定教学序并确定教学目标、教学素材、教学活动、轻重详略。

比如“认识乘法”，是在学生理解了加、减法的含义，掌握了100以内加、减法运算的基础上安排的。另外，乘法运算作为四则运算之一，它是进一步学习除法运算和解决相关实际问题的直接基础。学生建立乘法的概念，需要结合实例，通过观察、操作、比较、分析、抽象、概括等具体活动，从丰富的感性材料中抽象出“求几个几相加→加法算式→两道乘法算式”，进而初步理解乘法概念的含义。

而概念的引入需要提供大量的感性材料，乘法亦是如此。教材增加了“兔有几个2只？鸡有几个3只？”的问题，是为了进一步凸显“几个几相加”的抽象过程，逐步把握乘法概念的本质属性，实现认知飞跃，既完成了乘法概念的自主建构，又初步感悟了数学抽象的过程，积累了教学活动经验，也使数学教学真正由“双基”向 “四基”转变。

同时，概念的建构需要安排丰富的认知体验。教学时，一方面要通过典型实例，使学生知道“求几个相同加数的和，可以用乘法计算”，另一方面要适当增加问题情境的复杂性，使学生真切感受到有些“求几个相同加数的和”的问题用乘法计算比較简便。获得这样的体验，不但可以帮助学生深刻感受乘法运算的学习价值，而且有助于学生体会乘法和加法的联系，加深对乘法的认识。

概念的内化还需要组织有层次的练习。学生通过看一看、摆一摆、想一想、填一填等具体的活动，获得对乘法意义的丰富感知，体会加法与乘法之间的联系，把握乘法概念的本质。

再如“分数”的教学，若要使学生切实理解分数运算规则，儿童必须先行掌握分数的以下七个特性：1.没有一个可以分割的整体，就不可能有分数的思想。2.一个分数蕴含着一定数目的部分，定量的分配是以分成的人数必须与享受者的数目相一致为条件的。3.一个确定的分数的第三个特点是完全的划分，即没有剩余的部分。4.整体所分成的份数和分割的次数之间存在着固定的关系。5.算术上的分数概念意指各个部分都是相等的。6.它们都是原来整体的部分，同时本身也是一个能够进一步再分的整体，它们形成一个构造的序列。7.分数是与它所来自的整体相联系的，整体保持着不变性。

二、学生维度：从释然走向实然

1. 情境导心

创设合适情境是促进学生深度学习的一个关键。因为数学问题情境的创设，一是基于对核心素养的理解与认识，二是为了激发内在动机，让学习任务对人的学习能力引起挑战。

“倍的认识”一课，徐斌老师创设了这样一个情境：

师：春暖花开，同学们来到学校花坛。花坛里开满了鲜花。图中有哪几种颜色的花？你能分别数数有几朵吗？

生1：有蓝、黄、红三种颜色的花。

生2：蓝花有2朵 ……

师：根据这些已知信息，你能提出哪些数学问题？

师：同学们提出的问题都很有道理。其中，不少同学提出了比较两种花多少的问题，也就是求两个数量相差多少。其实，比较两个数量除了我们已经学过的求相差多少，还有另一种方法——倍。

倍的知识来源于比较。从“差比”到“倍比”，是学生认识上的一个飞跃，需要教师从学生的认知特点出发，引领学生从旧知起步逐步学习新知。同时，让学生面对三种花的数量，自己提出数学问题，培养学生的问题意识，发展学生的数学思考。

2.明理促思

数学教学处处皆有道理，教学要做到有理可循、有理有据，才能将数学学习引向深入。教师应当对数学知识的产生、性质以及结构有所了解和掌握，理解数学知识的内涵，引领学生追溯数学知识的本源，让学生理解数学知识本质之理，让学生感受到这样的数学道理是可以理解的。

比如，关于负数在现实生活中有很多原型。“认识负数”一课的导入，是选择“温度计”还是“负债”模型，粗看上去差不多，前者是从负数在生活中的应用来引入，而后者是从负数的发展史来引入。东方数学最早接受负数，是因为他们需要解决生活中具有相反意义的量的实际问题，像收入、支出、盈余、不足都自然地具有相反意义的量，因此，利用它们能很自然地理解负数的意义。

3.体验积智

学生在数学学习过程中的观察、实验、倾听、思考等均属于深度体验的学习方式。一如老师们常用的数学实验，便是小学数学课堂研究数学问题的良好体验方法，学生借助直观操作和形象描绘，做学玩合一，思创行一体，在体验数学知识从具体逐渐走向抽象的过程中，理解相关的数学原理，发展学科素养。

当然，积累了一定的思维活动经验，又有可能会阻碍进一步的数学学习。在一节公开课上，邹柯老师问学生：“1、2、3、4、5是什么数？”学生说“整数。”老师续问：“还是什么数？”学生说：“自然数。”老师再问：“还是什么数？”学生茫然不知如何作答，老师两次提示 “正……”学生仍然答不出“正整数”。这是什么原因？原来学生把自然数分为正整数、整数、0。不过，教学中为什么学生很难意识到这样的分类是错误的？学生把自然数分为正整数、整数、0，有什么样的价值？原来，学生的数学启蒙，大多是从学数1、2、3开始，待掌握了9、10之后才回过头来认识0，何况学习1、2、3等数的时间远远多于学习0的时间，因此学生在多年的强化中，将0排斥在了整数之外。还有，学生很少接触负数，心理上抵触-1、-2等数也属于整数，在很长一段时间里，学生理所当然地认为整数就是正整数。因此课堂教学中，老师总要为知识的生长埋下一些种子，例如0与1、-1的同步认识，这些种子知识可能学生暂时有困惑，但困惑何尝不是求知的原动力，何尝不是将来某个知识点的支点。endprint

三、教学维度：从经验走向理性

1.教学设计视野宽

基于深度学习的教学设计，既要体现立德树人的育人理念，更要彰显数学学科的魅力，也就是凸显“儿童基点，学科视野”这两大特点，体现教学内容所承载的实用价值、理性价值（数学素养的核心）和发展价值。正是因为这些独特且丰富的育人价值开发，学科教学才有可能生成丰富而又多元的资源，学生的精神世界的发展才有可能从中获得多方面的滋养，才有可能不断丰富和完善自己的生命世界。

如：在没有括号的四则混合运算中为什么要先乘除后加减，可能是很多老师也说不清的。访谈得到的答案一般有两种，一是认为是规定，二是认为乘除法是加减法的高级形式，所以要先乘除后加减。其实两种说法都没有道出运算顺序的本质。要让学习真正发生，如果我们教学的内容都没有真正理解，结果可想而知。四则混合运算顺序这种“规定”的背后有深刻的道理，有数学的思想和方法。那我们的教学就要让学生明白这样的道理，触摸“规定”，感悟这知识背后的思想和方法，这样的学习才是深入的。

可以看出，四则混合运算的教学关键是让学生理解运算顺序并了解它的由来，教学的重点是指向算理的深度理解，教学的目标是发展学生的运算能力，要让学生依据自身的生活经验和已有知识，探索并“创造”出四则混合运算的“序”，让“序”有理，让“序”有型，让“序”有值，从而实现让学习真正发生的目标。

2.核心問题引领探究

著名数学家P. Harmous 强调“问题是关键”，数学概念、定理、模型和应用都是在解决问题的过程中总结形成的。在数学课程目标中，特别强调发展学生发现问题、提出问题与分析解决问题的能力，在基于数学核心素养的深度学习中，这也是关注的重点。

例如“近似数”一课，教师设计了这样三个核心问题：“为什么要有近似数？什么是四舍五入？怎么运用近似数？”在层层递进式的核心问题引领下，学生经历猜想、验证、交流的过程，发展了数学思维，并获得良好的、积极的情感体验。

3.评价多元化

指向数学学科本质的评价既要关注学生学习的结果，也要重视学生经历深度学习的过程，即不仅考查对知识与技能的掌握情况，而且注重考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解，更多地关注对数学方法、思想本身的理解，以及在理解基础上具体情境中的合理运用。

教学中，可以关注学生“对数学学习持久的兴趣”，并从以下方面进行评价：（1）喜欢学习数学，对数学学习拥有好奇心；（2）喜欢探求新问题，对学习内容高度关注；（3） 能用数学的眼光来关注生活，从生活世界中捕捉数学问题。学生“数学应用能力”可从以下方面进行评价：（1）能灵活掌握所学知识，对相关知识能够理解和熟记；（2）能结合具体的情境，有依据地进行合情的推理和判断；（3）能应用所学知识灵活解决实际问题。

以考查学生数据分析能力为例，可以设计如下问题情境：李红的爸爸开车出门，在驾驶期间，一只猫跑到了汽车前面。他猛踩刹车，躲过了那只猫，但心里有点受惊的感觉，于是决定回家。下图简略地记录了李红的爸爸驾驶期间汽车的速度。

（1）在李红的爸爸驾驶期间，汽车的最大速度是多少？

（2）为了躲避那只猫，爸爸猛踩刹车的时间点是多少？

（3）爸爸回家的路程，跟他出门的距离一样吗？利用图表中所给的信息，写出一个解释来说明你的答案。

人们追求可靠性、确定性的时候，只剩下一块安宁的绿洲，就是数学。但长期以来，数学看重知识的逻辑结构和形式化体系，加之数学课程在“应试”中所占有的重要地位，使得“解题”一度成为数学教学的首要目标，这种“见数不见人”的数学学习观在实践中已经形成诸多弊端。教育就其本质来说“是人生存的需要，教育是主动的行为，每个人都有受教育的欲望”。因此，学生的深度学习挑战着数学教师对MPCK的深度理解。

（作者单位：江苏省苏州市教育科学研究院）

□责任编辑 李杰杰

E-mail：731836457@qq.comendprint