高中生数学基本活动经验的获得研究——以“基本不等式”教学为例

陈 敏

高中生数学基本活动经验的获得研究
——以“基本不等式”教学为例

陈 敏

为了让高中生获得更多的数学基本活动经验，提升数学核心素养，以“基本不等式”的教学为例，提出“模拟（演示）实验、动手操作、研讨探究、数学建模”四个不同层次的获得数学基本活动经验的途径，教师在明确数学活动经验与学生发展的关系，深刻理解其本质内涵的条件下，把握数学活动经验的目的性、主动性、深刻性、层次性，遵循学生的认知规律，确保学生数学活动经验的获得。

高中数学；基本活动体验；获得途径

《义务教育数学课程标准（2011版）》提出了“四基”，即学生通过学习，获得必需的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。义务教育阶段的教师积极践行课标精神，教学中注意学生的主体体验。但高中数学由于内容多、难度大、教学时间紧等原因，教师一般不敢放手让学生去体验，担心学生学习活动完成不了，数学理论掌握不好，造成高中数学教学的现状是结论告知的多，过程经历的少；教师讲解的多，学生探究的少；解题程式训练的多，活动体悟到的经验少。相比小学与初中，高中生基本数学活动经验的获得研究具有重要的现实意义。

笔者结合自己的教学实践认为，数学基本活动经验离不开数学活动，好的数学活动一般有特定的问题情境和明确的学习目标，有较广的探索空间，教师要积极引导学生动脑、动口、动手、动情，多种感官协调统一，根据不同的教学内容和教学目标，按数学活动开展和学生经验获得的难易综合程度，多层次地使学生获得数学基本活动经验。下面以“基本不等式”的教学为例，谈一谈“模拟（演示）实验、动手操作、研讨探究、数学建模”等几种不同层次的数学基本活动经验的获得途径。

一、模拟实验，重在悟其道

当现实条件不具备，或是没有必要现场实物操作，或者教学要求不高、思维难度不大时，有些数学实验教师可以采用计算机动画仿真模拟，让学生认真观察，进行数学抽象。这一过程重在“悟其道”，所谓“悟其道”就是抛去模拟实验场景的外衣，用数学的观点与思想方法寻求模拟实验现象数学解释，挖掘其背后的数学本质。

如在教学“基本不等式”时，学生做不等臂天平的数学实验，不可能也没有必要人手一台天平，这时教师可以用flash动画模拟演示，如图1。

图1

探究问题：假设有一个两臂长不等的天平，把一个物体放在该天平的一个托盘上，在另一个托盘上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a，再把物体与砝码调换，称得物体的质量为b，通常的做法是用表示物体的实际质量M，这样合理吗？物体真实的质量是多少？

事实上，设天平左右臂长分别为l1，l2。根据杠杆原理，Ml1=al2，Ml2=bl1两式相乘得，M2l1l2=abl1l2，所以即物体的实际质量M=

当然，计算机动画模拟只是模拟实验场景，数学实验没有实际发生，当实验物质条件具备时，可以考虑现场演示实验，由教师或个别学生在讲台上现场演示，其他学生仔细观察，认真思考，努力寻求现象背后的数学本质。如上述模拟实验中，如果条件许可，就可以把不等臂天平拿到教室讲台上现场演示，学生观察后，用数学的方法求出物体的实际质量

二、亲手操作，重在解其理

亲手操作做数学实验是学生运用有关工具（如纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具以及计算机等）进行的一种以实际操作为主要特征的数学验证或探究活动。其目的是让学生在数学活动中切身体验数学理论的产生发展过程。亲手操作是获得数学活动体验的最直接的方法，其重点是理解其中的数学之理。

如在教学“基本不等式”时，可以让学生做这样的数学实验：如图2，把两张边长不等的正方形纸（a≥b＞0）沿对角线对折后拼成右边的图形，询问学生这一图形同基本不等式0，b＞0）有何关系，能否直观地看出大多少，等号何时成立。

图2

三、研讨探究，重在得其法

学生经历数学知识的产生发展过程，积极研讨探究，切身体验，用心感悟，总结提炼，寻求解决问题的一般方法，从而内化为自己的数学能力与数学素养。研讨探究活动要用心感悟过程，总结提炼数学问题的一般研究方法是重点。

在教学过程中，先是通过不等臂天平的演示实验抽象出数学问题：算术平均数与几何平均数的大小关系如何；然后是猜想验证，利用特殊值归纳猜想的大小关系，学生自主判断、探究、证明（基本呈现比较法、分析法、综合法的雏形）；接着是演绎证明，利用不等式证明的基本方法（比较法、分析法、综合法）严格证明得到数学结论最后是理解赏析，赏析基本不等式的平衡和谐之美、数形结合之美。甚至教师还可以进一步纵深引导：从平衡和谐美的角度，你还能提出两个正数的其他“平均数”吗？它们与算术平均数与几何平均数的大小关系如何？三个正数呢？n个正数呢？从而使学生对于基本不等式的认识更加深入全面。事实上，以上数学理论的探究过程：动手操作（或是模拟实验）→数学抽象→猜想验证→演绎证明→数学理论→理解赏析，就是数学问题的一般研究方法。

四、数学建模，重在尽其用

学习数学不是为了学而学，其最终目的是学以致用，即综合运用数学知识、观念、方法建立数学模型，解决实际问题。通过数学学习，学生能从数学的角度发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，学会“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”。事实上，数学核心素养从本质上讲就是个体面对复杂的、不确定的情境时，综合运用数学知识、观念、方法解决实际问题所表现出来的关键能力与必备品质。它是学生在数学学习的过程中逐步形成的。数学建模和数学探究等综合实践活动是学生获得数学活动经验的有效方式，也是培育学生数学核心素养的重要途径。

如在“基本不等式”学习时，教师可以鼓励学生到学校文印室或是校外印刷厂调研在排版面积一定的条件下纸张的用量问题：

如图3，一份矩形印刷品的排版面积为A，它的左右两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白。如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的用量最少？

图3

解析：设排版矩形的长和宽分别是 x，y，则 xy=A，纸张的面积为

以上是结合“基本不等式”的教学，提出“模拟（演示）实验、亲手操作、研讨探究、数学建模”等几种不同层次的数学基本活动体验的获得途径。不难看出，“模拟（演示）实验”中数学活动没有实际发生，或仅仅观察到教师的实验操作，所获得的经验是浅层次的，实际课堂教学也比较容易实现。“动手操作”则是每个学生人手一套实验仪器、工具、材料等，课堂教学物质条件要求更高，但是学生动手操作，获得的是摸得着的切身体验。以上两种多数情况下都是为达成某一个具体的教学目标而进行的，学生获得的是一些孤立的个别的数学活动体验。而“研讨探究”则是把这些孤立的个别的数学活动体验串起来，总结提炼，寻求解决问题的一般方法。最后“数学建模”是对于客观现实世界，数学地观察、数学地分析、数学地解决、数学地表达，这是数学教学的价值追求，这种经验的获得需要一个循序渐进的过程，不可一蹴而就。当然以上这些不同层次的学生数学基本活动经验的获得，一定要结合不同的教学内容和教学目标，适合的才是最好的。

除此以外，教师引导学生参与数学活动，获得数学活动经验还要注意以下几个问题：一是目的性，活动是为教学目标的达成服务的，不同的目标定位会设计出不同的活动，也就会产生不一样的教学效果；二是主动性，实践证明，要使活动更加积极有效，就必须注意学生学习体验的主动性，如果学生被教师牵着鼻子走，照着教师的要求，按部就班进行体验，学生获得不了真正属于自己的数学活动经验；三是多样性，活动方式包括课外数学阅读、数学实验、撰写小论文与实验报告、数学仪器、工艺品的制作、数学游戏等，其中数学建模和数学探究等综合实践活动是学生数学活动体验的有效方式；四是深刻性，教师创设的数学活动，不能片面追求形式的“美丽”，要注重数学内涵的“魅力”，学生不仅仅是“做数学”，还要“思数学”，更要“悟数学”，把握数学活动情景背后的数学之理。

总之，教师只有明确数学活动经验与学生发展的关系，深刻理解数学问题的本质内涵，了解基本的高中生基本数学活动经验的获得途径，遵循学生的认知规律，才能确保学生数学活动经验的获得。

G633.6

A

1005-6009（2017）67-0034-03

陈敏，江苏省锡山高级中学（江苏无锡，214174）教师，高级教师，无锡市学科带头人。