分类讨论还是参变分离?——浅议不等式恒成立问题的解法

河北 刘立刚

分类讨论还是参变分离?
——浅议不等式恒成立问题的解法

河北 刘立刚

函数导数问题中不等式恒成立问题一直倍受命题人的青睐，也一直是学生学习的疑点和高考的热点.由于其中既含有参数又含有变量，能有效考查学生分析问题、解决问题的能力.

解决此类问题的常见方法一是不等式变形，使不等式一侧为具体常数(常常是实数0)，将另一侧构造为关于变量x的函数，把不等式恒成立问题转化成含参数的函数求最值，f(x)gt;0(f(x)lt;0)恒成立⟺[f(x)]mingt;0([f(x)]maxlt;0)，简称“函数法”；二是等价变形将变量x和参数a分别置于不等号两侧，f(x)gt;g(a)恒成立⟺g(a)lt;[f(x)]min(f(x)lt;g(a)恒成立⟺g(a)gt;[f(x)]max)，简称“参变分离法”.

两种方法都是转化为求函数最值，在解决过程中各有利弊：“函数法”通过分类讨论将函数求最值分为不同情况，把复杂问题简单化，但函数中含参数，导致导数符号的不确定性，大部分学生对于带参数的求导结果的讨论会知难而退；而“参变分离法”通过对字母的分离使恒成立问题转化为不含参数的给定函数的最值，避开了对含参因式的分辨以及主次变量的讨论，其弊端是分离后有可能使给定函数形式过于复杂，最值不易求.

同学们在解决此类问题时总有这样的纠结：到底用“函数法”分类讨论，还是用“参变分离法”化给定函数？尤其是做压轴题时，一旦所确定的方法不合适，不光耗时耗力，而且想重新改正时发现时间已来不及.那么涉及具体问题时，我们如何“因题制宜”的解决，下面笔者以三个例题加以说明：

1 例题分析

例1已知函数f(x)=x-ln(x+1)，若对于任意的x∈(-1,0]，总有f(x)≥ax2，试求实数a的取值范围.

解析设g(x)=f(x)-ax2=x-ln(x+1)-ax2，

则g(x)≥0在(-1,0]上恒成立，

若a=0，则g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立，

即g(x)在(-1,0]上单调递减，

g(x)min=g(0)=0，g(x)≥0符合题意；

g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立，

即g(x)在(-1,0]上单调递减，

g(x)min=g(0)=0，g(x)≥0符合题意；

g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立，

g(x)在(-1,0]上单调递减，

所以g(x)min=g(0)=0，g(x)≥0符合题意；

因此g(x)minlt;g(0)=0，不符题意.

2 例题再思考

上面两个例题通过分析所给不等式的结构得出比较容易解决问题的通法.波利亚对解题过程有着精辟的论述：不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.其实解决不等式恒成立问题中有的只能用或更适合用某一种，而有的两种都可以.比如以上两个例题，其实两种方法都可以，只不过采取方法不同，导致难易程度有区别.

显然，此法难点在于部分截取构造函数二次求导以及洛必塔法则的使用.

此例若用“函数法”难度增大不小，尤其是不等式的处理，不是解出关于k的不等式，而是通过换元得出其小于0恒成立，避免解“超越不等式”，但技巧性强，学生不易想到.

3 拓展延伸

“死板地硬套所选择的模型乃是愚笨的，这是思维惰性的一种表现”.法无定法，掌握基本方法的基础上灵活变通地分析问题、解决问题是我们的方向.一个知识、一种方法的学习更重要的意义在于思想的渗透，思维的训练.

例3(2012·全国高考21题改编)已知a,b∈R，且ex+1≥ax+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是

( )

解析1由已知条件得b≤ex+1-ax.

(ⅰ)若alt;0，则x→-∞时，ex+1-ax→-∞，不等式不恒成立；

(ⅱ)若a=0，则ab=0；

(ⅲ)若agt;0，由b≤ex+1-ax得ab≤aex+1-a2x，

设f(x)=aex+1-a2x，f′(x)=aex+1-a2=a(ex+1-a)，令f′(x)=0，得x=lna-1，当x∈(-∞,lna-1)时，f′(x)lt;0，f(x)单调递减；当x∈(lna-1,+∞)时，f′(x)gt;0，f(x)单调递增，则f(x)min=f(lna-1)=2a2-a2lna.

点评本题的求解最值问题涉及双参数，而且两个参数都没有一些明显的限制条件，针对双参数一方面是配凑分离出所要求的ab这个整体的不等关系；另一方面是对参数的分类讨论.

解析2考虑本题是选择题的特点，遵循“小题小做，小题巧做”的原则，根据不等式的特点，将不等式两侧变形为初等函数，画初等函数图象，用数形结合的思想解题.我们不妨称为“部分参变分离法”.

如图，作f(x)=ex+1和g(x)=ax+b的图象，由图可知，要使不等式恒成立，则a≥0.

若a=0，则g(x)=b，原不等式恒成立⟺b≤0，此时ab=0.

若agt;0，如图，求ab的最大值分两步，第一步假定a的值不变，g(x)是随着b的变化而变化的平行直线系.

点评“部分参变分离”，将代数问题几何化，数形结合，利用初等函数的图象变化直观判断解决问题，节省时间，提高能力.

4 小结

“一个专心的认真备课的老师能够拿出有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过问题的解决，好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”解决不等式恒成立问题到底是进行分类讨论还是参变分离，需要在观察和分析的基础上获得，当然也要有解题经验的积累.

本文中解不等式恒成立问题在方法的选取上要注意，“函数法”重点是求导以后对参数的分类讨论，参数的不同取值范围对于导数的正负要容易判断；“参变分离法”一是尽量使参变分离容易，要避免讨论，二是分离以后所得的给定函数的最值能相对容易地求出来.

河北省定州中学)