从数学核心知识到数学核心价值教学转型研究

雷世清

摘要：数学核心知识是数学核心价值的主要载体。数学学科的核心价值研究，若能够与数学核心知识的教学有机融合到一起，那么教学转型必定能够起到事半功倍的效果.本文结合《数列求和》复习模块的教学实践，兼谈从数学核心知识到数学核心价值教学转型研究的一些思考.

关键词：核心知识 ；核心价值； 教学转型 ；PBL教学模式

案例背景

上海教育出版书出版高二年级第一学期数学（试用本）第7章《数列与数学归纳法》第一节内容是《数列》.学生在学习这一节内容之后，在运用等差数列、等比数列的求和公式时运算经常出错。于是我尝试改编课本和练习册相关问题，运用了PBL（Problem-based Learning 即基于问题的学习）教学模式，安排了一节《数列求和》复习模块课.

案例主题

1.熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式.

2.掌握一些既非等差数列又非等比数列的数列求和的常见方法，能熟练运用这些方法解决数列求和问题，体验等价转化与化归等数学思想的运用.

3.学会观察、思考、表达，形成分析问题与解决问题的能力和探究创新意识.

教学方法与手段引导启发 自主探究 练、讲、议、思相结合

案例叙述

片段一 复习与回顾

1. 等差数列{an}的前n项和公式为 Sn=____________或Sn=_____________.

等比数列{an}的前n项和公式为 Sn=_______________.

2.求和：（1）1+3+5+···+（2n-1）=_________________ （n∈N*）；

（改编 教材第30页 例1、教材第34页 练习7.5 第1（1）题）

（2）已知a≠0，n∈N*，则1+a+a2+a3+…+an= _______________.

（改编 教材第34页 练习7.5 第1（2）题、练习册 第12页 习题7.4 A组 第1（1）题）

3.已知数列{an}前项的和Sn，则 an=______________.

思考：已知数列{an}的通项公式，如何求该数列前n项和Sn=？

设计意图：温故知新；考查数列项数的确定及等比数列前n项求和公式注意事项.

活动要求：学生课前完成，课上相互评价.

第1、2（1）、3题，学生做得很好.第2（2）题学生讨论热烈，最后达成了共识.

T：谁小结一下.

S：要熟练运用等差数列和等比数列的前n项的和的公式.若等比数列的公比含参数，看一看是否需要讨论哦.

T：小结得很好.数列求和在高中数学中占有很重要的地位.本节课我们来研究既非等差数列又非等比数列的数列的求和问题.（板书课题：数列求和）

判断二 探究活动

例1 求和：（1）112+214+318+…+（n+12n）（n∈N*）；

（改编 练习册 第15页 习题7.6 A组 第3题）

（2）9+99+999+···+（10n-1）（n∈N*）.

设计意图：先化简通项公式，再分组求和（数列求和的基本方法）.

T：请问这个数列是等差或等比数列吗？你是怎么求得的？分组板演、交流.

第1小组代表：上黑板板演

原式=（1+12）+（2+14）+（3+18）+···+（n+12n）

=（1+2+3+···+n）+（12+14+18+···+12n）

=n（1+n）2+12[（1-（12）n]1-12=n22+n2+1-12n

然后汇报：将原数列求和转化为一个等差数列和一个等比数列的求和.

第2小组代表：上黑板板演

原式=（101-1）+（102-1）+（103-1）+···+（10n-1）

=（10+102+103+···+10n）-（1+1+1+···+1n个1）=10（1-10n）1-10-n=10n+19-109-n.

然后汇报：将原数列求和转化为一个等比数列喝一个常数列的求和..

T：投影其它组探究情况.

T：刚才从各小组探究情况都说明：若一个数列既非等差数列又非等比数列，但它是由一个等差數列和一个等比数列对应项相加所得的新数列.这种把通项公式拆成两个或两个以上的等差或等比数列的求和的方法叫做分组求和法（板书）.这种方法是拆项法的一种，运用了化归与转化的思想方法.

例2 求和：（1） 11×2+12×3+13×4+···+1n（n+1）（n∈N*）；

（改编 练习册第15页 7.6 A组 第3题）

（2）11×3+12×4+13×5+···+1n（n+2）（n∈N*）.

（改编 教材第35页 例2）

设计意图：用裂项相消法求数列的前n项的和（常用数列求和方法之一）.

T；请分组讨论、板演、交流.

学生开始思考，有的低着头在算、有的窃窃交流、有的学生在沉思……，很快学生讨论声四起.

第3小组代表：上黑板板演

（1）解：因为 1n（n+1）=1n-1n+1，

所以 原式=（1-12）+（12-13）+（13-14）+···+（1n-1n+1）=1-1n+1=nn+1.

然后汇报交流.

小组4代表：上黑板板演

（2）解：因为 1n（n+2）=12（1n-1n+2），

所以 原式=12[（1-13）+（12-14）+（13-15）+（14-16）···+（1n-1n+2）]

=12（1+12-1n+1-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）=34-12（n+1）-12（n+2）.

然后汇报交流.

T：投影其它组探究情况.

全体学生聚精会神听着、看着……

T：刚才从各小组探究情况看，求数列求和前，先根据通项的结构化简再求和.我们把上述求和方法形象称之为裂项相消法（边讲边板书），这种方法也是拆项法的一种.

例3若数列an的前n项和为Sn，且an=2n-1，1≤n≤3，

2n-7，n≥4，n∈N ，求Sn.

设计意图：用分段求和方法求数列的前n项的和（也是常用数列求和方法之一）.

活动要求：各小组先合作探究，然后抢答.若抢答错误，再进行下一轮抢答.

学生们积极参与探究活动中……

S1：Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16.

T：同学们，上述回答对吗？

S：不完全对.

T：继续抢答.

S2：当1≤n≤3时，Sn=1-2n1-2=2n-1，当n≥4时，Sn=（1+2+4）+[1+3+5+···+（2n-7）]

=7+（n-3）[1+（2n-7）]2=n2-6n+16，

所以 Sn=2n-1，1≤n≤3，

n2-6n+16，n≥4， n∈N.

T：未作评判.问：为什么这样分类？

S2：由题意知 该数列的前三项是以1为首项，2为公比的等比数列，它从第四项起为以1为首项，2为公差的等差数列，所以这么分类.

其他学生：鼓掌.

T：這位同学回答得很好！这种数列求和方法称之为——分段求和（同学集体回答）.

片段三 巩固与反思

求数列1，1+2，1+2+4，…， 1+2+22+···+2n-1，…的前n项和Sn.

学生都认真作答，我不断巡视着，并不时与学生对话、交流。

片段四 学习小结

T：本节课你都掌握了哪些数列求和的方法？数列求和涉及哪些数学思想方法？

S：（1）利用公式求和：利用等差、等比数列求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

（2）分组法求和：将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和.

（3）裂项法求和：将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

（4）分段求和：就n进行分类讨论再求和.

另外，在数列求和过程中，运用了化归与转化、分类讨论等数学思想方法.

T：小结得很精彩.（补充）其中（2）、（3）的方法统称为拆项法.同学们，不管用什么方法求和，方法的实质都是把既非等差数列又非等比数列的数列转化为等差数列或等比数列的求和问题.

案例反思

本节课运用了PBL（Problem-based Learning 即基于问题的学习）教学模式进行了从数学核心知识到数学核心价值教学转型研究。本节课整合资源，改编教材和练习册相关问题，学生在参与一系列探究活动过程中形成了一定的归纳总结能力、探究能力和创新意识.本节课突出了化归与转化、分类讨论等数学思想方法的运用，突破了教学难点，教学目标达成度高.

（作者单位：上海市嘉定区教师进修学院 201800 ）