椭圆中与焦半径相关的最值问题探究

汪之广

摘要：文章通过探讨与椭圆焦半径相关的一类最值问题，旨在帮助学生归纳整理出解决此类问题的方法和途径，从而培养学生在高三数学复习的过程中养成学会转化、归纳、概括、联想的思维能力。

关键词：椭圆；焦半径；最大值；最小值

引言

圆锥曲线是高中数学教学的一个重点，更是一个难点。笔者在高三一轮复习的过程中，讲授椭圆这一节时，发现很多同学感觉到这一节有很多性质和结论，也做了大量习题，但还是觉得知识不够用。实际上，椭圆这一节中离不开两个核心问题：椭圆的定义（第一定义）和椭圆的标准方程，一个是从“形”上来刻画椭圆，另一个则是从“数”上来认识椭圆。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”本文试图通过在解决椭圆的焦半径的最值问题的基础上，紧紧抓住椭圆的第一定义和标准方程，探究与之密切相关的一类最值问题，目的是帮助学生归纳整理出这一类问题，从而培养学生在学习数学的过程中养成学会转化、归纳、概括、联想的思维能力。

著名数学教育家波利亚形象的指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，他们都成堆的生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”如在研究圆锥曲线的性质时，以某个性质为“生长点”，我们就可以得到很多类似的结论。如果学生能够把这些结论理解并加以运用，将会给解题带来很大帮助。

对于一个给定的椭圆，有两个核心知识：一是椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a，二是椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），而很多学生在解题时不是忘记用就是不知道怎么用。下面笔者将以焦点在x轴上的椭圆为例，探究与焦半径相关的一类最值问题。

问题1：求焦半径|PF1|的最值。

分析：椭圆的焦半径是学生认识椭圆最基本的一个元素。由于P为椭圆上任意一点，所以可以设坐标为（x，y），应用两点之间的距离公式表示出|PF1|的长度，再借助于椭圆的标准方程，把求|PF1|的最值转化为求二次函数的最值问题。也可以由椭圆的参数方程设P点坐标为（acosθ，bsinθ），利用三角函数的有界性来处理。还可以设∠PF1F2=α，运用余弦定理用角α的余弦以及a，c表示出|PF1|，再利用三角函数的有界性来处理。上述问题看似简单，大多数学生也都知道這个结论，但真正问起原因，却不知道所以然。实际上，其中蕴含了丰富的函数思想，而函数的学习是我们高中数学学习贯穿始终的一条主线。

解法1：设P点坐标为（x，y），F1（-c，0），则|PF1|=（x+c）2+y2，又y2=b2-b2a2x2，所以|PF1|=（x+c）2+b2-b2a2x2=c2a2x2+2cx+c2+b2=c2a2x2+2cx+a2=（cax+a）2，-a≤x≤a且对称轴x=-a2c<-a，所以当x=a时，|PF1|取得最大值a+c，当x=-a时，|PF1|取得最小值a-c。

解法2：设P（acosθ，bsinθ），则|PF1|=（acosθ+c）2+b2sin2θ=（ccosθ+a）2，因为-1≤cosθ≤1，当cosθ=1时，|PF1|取得最大值a+c，当cosθ=-1时，|PF1|取得最小值a-c。

解法3：设∠PF1F2=α，由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+4c2-4|PF1|ccosα，又|PF2|=2a-|PF1|代入得（2a-|PF1|）2=|PF1|2+4c2-4|PF1|ccosα，化简得|PF1|=a2-c2a-ccosα，又∵0≤α≤π，当α=0时，|PF1|取得最大值a+c，当α=π时，取得最小值a-c.

问题2：求|PF1||PF2|最值。

分析：如果设出P点的坐标，再用两点间的距离公式分别表示出|PF1|和|PF2|，务必给计算带来很大麻烦，注意到|PF1|+|PF2|=2a，可以借助基本不等式xy≤（x+y2）2（x，y∈R）求出|PF1||PF2|的最大值，再结合三角形两边之差小于第三边求出|PF1||PF2|的最小值。

解：因为|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF1||PF2|≤（|PF1|+|PF2|2）2=a2，即|PF1||PF2|的最大值为a2，又||PF1|-|PF2||≤2c，|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2≤4c2，

即（|PF1|+|PF2|）2-4|PF1||PF2|≤4c2，

故|PF1||PF2|≥a2-c2=b2，即|PF1||PF2|的最小值为b2。

问题3：求|PF1|2+|PF2|2的最值。

分析：如果借助基本不等式x2+y2≥2xy得到|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1||PF2|，再由问题2的结论|PF1||PF2|≥a2-c2=b2求出|PF1|2+|PF2|2的最小值为2b2，但实际上取得最小值时需要上述两个不等式同时取等号，第一个不等式取等号时要求|PF1|=|PF2|，而第二个不等式取等号时要求||PF1|-|PF2||=2c，这是矛盾的。实际上结合|PF1|+|PF2|=2a和||PF1|-|PF2||≤2c，可以先求出|PF1|或|PF2|的范围，再把|PF1|2+|PF2|2表示成|PF1|或|PF2|的关系式来处理。当然，也可以设出P的坐标（x，y），把|PF1|2+|PF2|2表示成x，y的关系式，再结合椭圆的标准方程消去y2或者x2来处理。

解法1：由|PF1|+|PF2|=2a||PF1|-|PF2||≤2c，得a-c≤|PF1|≤a+c，

所以|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+（2a-|PF1|）2=2（|PF1|2-2a|PF1|+2a2）=2（|PF1|-a）2+a2，

所以当|PF1|=a+c或a-c时，|PF1|2+|PF2|2取得最大值2a2+2c2，当|PF1|=a时，|PF1|2+|PF2|2取得最小值2a2。endprint

解法2：设P点坐标为（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则|PF1|2+|PF2|2=

（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2x2+2y2+2c2=2（x2+b2-b2a2x2+c2）=2（c2a2x2+a2）

因为-a≤x≤a，所以x=±a时，|PF1|2+|PF2|2取最大值2a2+2c2，当x=0时，|PF1|2+|PF2|2取最小值2a2。

问题4：当点P处于什么位置时∠F1PF2取得最大值。

分析：求∠F1PF2的最大值，由余弦函数的单调性知，实际上就是求cos∠F1PF2的最小值，故可以运用余弦定理来求解。

解：显然∠F1PF2∈[0，π），由余弦函数的单调性知，当cos∠F1PF2取得最小值时∠F1PF2取得最大值。因为

cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1||PF2|=

（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|-4c22|PF1||PF2|=

4b2-2|PF1||PF2|2|PF1||PF2|=2b2|PF1||PF2|-1，由問题2知b2≤|PF1||PF2|≤a2，所以当|PF1|=|PF2|，即点P位于上（下）顶点时，cos∠F1PF2取最小值，此时∠F1PF2取得最大值。

问题5：求PF1·PF2的最值。

分析：数量积的运算在高考时常出现，它往往有两种运算方式：坐标运算和向量模的运算。如果设出P点的坐标，PF1·PF2的表示式结构很简单，只要再借助于椭圆的标准方程消去y2或者x2来处理就可以，也可以由数量积的定义结合余弦定理来求解。

解法1：设P点坐标为（x，y），F1（-c，0），F2（c，0），则PF1·PF2=（x+c，y）·（x-c，y）=x2+y2-c2=x2+b2-b2a2x2-c2=c2a2x2+b2-c2，因为-a≤x≤a

，所以当x=±a时，PF1·PF2取得最大值b2，当x=0时，PF1·PF2取得最小值b2-c2。

解法2：∵PF1·PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-4c22，由问题3知2a2≤|PF1|2+|PF2|2≤2a2+2c2，故2a2-4c22≤PF1·PF2≤2a2+2c2-4c22，

即b2-c2≤PF1·PF2≤b2。

以上探究得到的结论只是椭圆中与焦半径有关的一部分，笔者认为：我们在教授学生知识的同时，更应该注重对学生学习能力和习惯的培养，所谓“教者，乃传道授业解惑也”，要让学生知道是什么，更要知道为什么。学生只有在学习的过程中不断质疑、反思、归纳、总结，才会让自己的学习能力和思维得到根本性提高。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部，《普通高中数学课程标准实验教科书》，北京：人民教育出版社，2005.

[2]花奎：《“师生角色互换”在习题课讲评中的实践》[J].中学数学教学参考：上旬，2015（9）：15-17.endprint