例谈高中数学统计与概率专题教学复习策略

黄汉羡��

摘要：高中数学中统计与概率是一个重点的教学复习内容，在高考中这一内容经常出现。为了更好的帮助学生进行复习，笔者从扫清盲点、凸显思想、强化综合三方面来阐述教学复习的相关内容。

关键词：高中数学；统计与概率；教学复习策略

在高考中对统计与概率的考查，往往是以核心知识为重点、以基本问题为载体、以现实生活为背景的交会为命题的出发点，从而实现全面考查统计与概率的基本思想和方法以及学生的综合能力和数学素养的目的。因此，在统计与概率的专题复习中我们要将这部分的内容进行宏观上的整合，从而扫除学生复习中的障碍。

一、 扫清盲点

在扫清盲点中，我们的教师要做的就是帮助学生们厘清事件、识别模型、关注冷门。尤其是厘清事件、识别模型是答题的基础和关键。下面我们举一个厘清事件的实例。

例题：现已知总共有5只动物，其中有一只患有疾病，现在需要化验动物的血液来判断哪只动物患有疾病。血液化验的结果如果呈阳性则是患病动物，呈阴性的也是没有患病的动物。下面为两种化验的方案：

方案甲：挨个化验，化验到确定出来患病的动物为止。

方案乙：首先取出3只动物，得到它们的血液，混合在一起进行化验。如果结果是呈阳性就说明三只动物中有一只患病的，然后再进行化验，到最后确定到哪只是患病动物。如果结果是阴性的话，就在另外的两只动物中取一只进行化验。

（1） 求出方案乙中所需要化验的次数多于方案甲中所需要化验的次数的概率是多少；

（2） 用a表示方案乙中化验的次数，求出它的期望是多少。

解：（1） 设a1，a2分别代表方案甲和乙化验次数，P代表相对应的概率，

则方案甲中ξ1的分布列为

ξ1

1

2

3

4

P

15

45×14=15

45×34×13=15

45×34×23=25

方案乙中ξ2的分布列為

ξ2

1

2

3

P

0

C24C35×13+C34C35=35

C24C35×23=25

若甲化验的次数不少于乙化验的次数，则

P=P（ξ1=1）×P（ξ2=1）+P（ξ1=2）×[P（ξ2=1）+P（ξ2=2）]+P（ξ1=3）+[P（ξ2=1）+P（ξ2=2）+P（ξ2=3）]+P（ξ1=4）=0+15×0+35+15×0+35+25+25=0.72

（2）E（ξ）=1×0+2×35+3×25=125

例题分析：这道题中容易出错的地方就是没有与实际相联系，忽略了这是一个实际问题。再方案甲中，每一次化验时患有疾病的动物出现的概率是相等的，学生没有认清实际，会以为化验次数取值会是1，2，3，4，5。而实际上，如果前四次化验结果呈阴性，就不再需要化验第五次就能判断最后一只动物为患病的，因此化验的次数应当为1，2，3，4。相应的，方案乙中，如果第一次化验结果是阳性，那么只需要化验那三只中前两只，结果是阴性的就不再需要进行化验了，或者如果第一次化验的时候是阴性，则化验另外那两只动物中的第一只，此时，呈现阴性或者阳性都不需要再进行化验，取2，3即可。所以说，在进行有关分布列的问题解决时，首先第一步要弄清楚的是随机变量可能的取值和每一个取值的意义是什么，以后再求出每一个取值时所出现的概率是多少，然后再求出分布列。

二、 凸显思想

在这部分专题的复习中，常用的数学思想就是统计的思想。在解题时要以核心知识为中心、以事件模式识别为突破点、以图表的情境为素材，将这些内容进行结合一一突破试题要求。

例题：未来制造业对零件的精度要求越来越高。3D一般的打印都是通过数字技术材料打印机来进行的。在工业设计、模具制造等部分领域中有着应用，比如制造模型，后来开始应用于直接制造产品，现在我国已经有成功的案例，有的零部件就是采用这种技术完成的。这种技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间。某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件。该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径的茎叶图如图所示（单位：μm）。

（Ⅰ） 计算平均值μ与标准差σ；

（Ⅱ） 假设这台3D打印设备打印出品的零件内径Z服从正态分布N（μ，σ2），该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：μm）：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：P（μ-2σ

解：（Ⅰ）μ=97+97+98+102+105+107+108+109+113+11410

=105μm，

σ2=（-8）2+（-8）2+（-7）2+（-3）2+02+22+32+42+82+9210

=36，

所以σ=6μm。

（Ⅱ）结论：需要进一步调试。

解法一：理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N（105，62），

P（μ-3σ

零件内径在（87，123）之外的概率只有0.0026，

而86（87，123），根据3σ原则，知机器异常，需要进一步调试。

解法二：理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N（105，62），

P（μ-3σ

正常情况下5个零件中恰有一件内径在（87，123）外的概率为：

P=C15×0.0026×0.99744=5×0.0026×0.99=0.01287，

为小概率事件，而86（87，123），小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试。

解法三：理由如下：如果机器正常工作，则Z服从正态分布N（105，62），

P（μ-2σ

正常情况下5件零件中恰有2件内径在（93，117）外的概率为：

P=C25×0.004562×0.95443=10×0.002×0.87=0.0174，

此为小概率事件，而86（93，117），118（93，117），小概率事件发生，说明机器异常，需要进一步调试。

例题分析：在解答本题时，我们要引导学生将重心放在统计思想和概率意义的解释上边，减少对复杂的计数上的关注，只有掌握了更多的方法才能在解题时水到渠成。

三、 错题研究

就像卢那察尔斯基说的：“犯错误乃是取得进步所必须交付的学费。”只有在不断地错误失败中我们才能获得更多的教训，获得更大的成长，所以教师在教学中要教导学生善于发现错误，善于在错误中找寻真正的答案，甚至更多的答案。

1. 总结错误，题型分类

“聪明的人不善于苦闷，而是善于思考错误”，在数学学习过程中，难免会出现各种错误，我们教师需要做的就是帮助学生在错误中找到答案，引导学生将出现错误的题总结起来，摘抄到笔记本上边，然后进行题型分类。

就例如下面的一道选择题：

如果一个整数为偶数的概率为0.6，且a，b，c均为整数，求 （1）a+b为偶数的概率；（2）a+b+c为偶数的概率。

解析：整数为奇数的概率为1-0.6=0.4

（1） 当a，b都为偶数或都为奇数时，a+b为偶数，记a+b为偶数的概率为P（a+b），则P（a+b）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52

（2） 由（1）可知，a+b为奇数的概率为0.48，a+b+c为偶数的条件是a+b与c均为偶数，或者a+b与c均为奇数，记a+b+c为偶数的概率为P（a+b+c），则 P（a+b+c）=0.52×0.6+0.48×0.4=0.504

这道题相对来说非常的简单，但如果学生出错的话，可能就是逻辑关系不清晰，也可能是计算错误，总之学生要把题先弄清楚，摘抄下来，然后分类汇总，整理到一起。

2. 找同类题，加强训练

对于学生出错的题型要教导学生总结起来，并着一些同类型的题目，反复训练，加强做題能力，减小出错几率。

比如连线题，一边是数字答案，一边是数学计算式，学生有的会连错，可能是答案没算对，也可能是连线题比较混乱，适应不了。不管是什么理由，都要把该类题型做好，最有效的就是找一些同类型的训练，通过不断地磨炼增强做题能力，熟练做好各种题型。

四、 与同学讨论多种解题方法

周恩来总理说过：“有错误要逢人便讲，既可取得同志的监督帮助，又可以给同志们以借鉴。”可见犯错误之后与别人分享也是特别重要的。所以教师要教导学生不要怕犯错，更不要把自己的错误掩藏起来，应该多于其他同学讨论自己的错误，从别人的意见里找到自己的不足之处，更重要的是学习别人的长处，也许有的时候不同的同学会给出不一样的见解，会发现更多内在的惊喜。

总而言之，高中数学统计与概率的复习需要学生们去多多的进行习题的练习，只有在实际的练习之中，才能够更好地去发现问题所在，也能够更好地去记住所运用到的解题知识及方法。想要取得好的成绩，就只能够去多加地努力，是没有捷径可走的。相信在老师与学生们的共同努力之下，高中数学统计与概率的复习将会取得更好的效果。

参考文献：

[1]徐素华.概率与统计专题复习[J].高中数学理化，2012，01.

[2]金山.2011年高考必做客观题——概率统计题[J].数学教学通讯，2011，Z1.