三法“完胜”平面向量数量积

平面向量的数量积是向量知识中的重要内容，也是高考平面向量的主要考点，考题中往往会涉及到求值或者取值范围的小题或大题.那么面对平面向量的数量积问题，同学们一般可采用哪些方法呢？本文教你三法，助你“完胜”平面向量数量积！

一、定义法

直接利用平面向量的数量积运算的定义：a·b=|a|·|b|·cosθ.此法必须先根据几何或代数关系求非零向量的模和夹角.

例1（1）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则AD·DB=.

（2）已知向量a与b的夹角为60°，且a=（-2，-6），b=10，则a·b=.

分析：（1）根据正六边形的几何特征易求|AD|，|DB|，以及两向量夹角，但是要注意起点一致，代入数量积定义可求.（2）先求|a|，再代入数量积定义即可求得.

解：（1）根据正六边形性质，有∠ADB=30°，于是向量AD与DB的夹角为150°，且|AD|=2，|DB|=3，所以，AD·DB=|AD|·|DB|·cos150°=2×3×（-32）=-3.

（2）因为a=（-2，-6），

所以|a|=（-2）2+（-6）2=210，

又|b|=10，向量a与b的夹角为60°，

所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.

点评：利用定义求两个非零向量数量积，关键要先搞清向量的夹角和模，尤其在图形中找向量夹角时，必须要注意两个向量的方向.否则极易把它们的夹角的补角当作它们的夹角.

二、坐标法

设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2+y1y2，用此法求平面向量数量积时，必须先建立恰当的平面直角坐标系，把向量坐标化，特别注意，当遇到特殊三角形或四边形时可以多考虑建系，以达到事半功倍的效果.

例2（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC2=63，a=b=3，点P是边AB上的一个三等分点，则CP·CB+CP·CA=.

（2）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为.

分析：（1）由已知条件可求△ABC的高，和底边AB的长，根据对称关系，以AB所在的直线为x轴，高所在直线为y轴建立坐标系，用坐标表示相关点，用坐标求数量积.（2）建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值.

解：（1）过点C作CO⊥AB，垂足为O.如图所示，

∵sinC2=63，∴cosC2=1-sin2C2=33.

∴CO=AC·cosC2=3·33=3.

∴AO=OB=32-（3）2=6.

∴C（0，3），A（-6，0），B（6，0），

取點P靠近点B的三等分点.则P（63，0）.

∴CP·CB+CP·CA=CP·2CO

=2（63，-3）·（0，-3）=6.

同理取点P靠近点A的三等分点答案也是6.

∴CP·CB+CP·CA=6.

（2）以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、

y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a，DP=x.

∴D（0，0），A（2，0），C（0，a），B（1，a），P（0，x），

∴PA=（2，-x），PB=（1，a-x），∴PA+3PB=（5，3a-4x），

∴|PA+3PB|2=25+（3a-4x）2≥25，∴|PA+3PB|的最小值为5.

点评：用坐标法求平面向量数量积可以简化解题过程，坐标法思想能否灵活使用以及坐标系建立的恰当与否是解题关键.

三、分解转化法

分解转化法，也叫基底法，就是利用平面向量基本定理将所求向量用基底表示，在不含坐标系或者不宜建系的情况下，通过向量运算得到解题结果.这种方法也比较常见，应予以重视.

例3（1）在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若D点在斜边BC上，CD=2DB，则AB·AD的值为.

（2）已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2.若AP=λAB+AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为.

分析：（1）由向量加法三角形法则和向量共线定理将AD用基底AB，AC表示，代入AB·AD中求解.（2）以向量AB与AC为基底，把BC写成AC-AB，再由AP⊥BC得AP·BC=0，将AP与BC代入，可转化为关于λ得方程.

解：（1）AD=AC+23CB=AC+23（AB-AC）=23AB+13AC，

∴AB·AD=AB·（23AB+13AC），

由于∠BAC=90°，∴AB·AC=0，

因此AB·AD=23AB2=23×36=24.

（2）因为BC=AC-AB，AP=λAB+AC，

由于AP⊥BC，所以AP·BC=0，

即（λAB+AC）·（AC-AB）=-λAB2+AC2+（λ-1）AB·AC=0，

即-9λ+4+（λ-1）×3×2×（-12）=0，解得λ=712.

点评：利用分解转化法求平面向量数量积，关键是选基底，基底的选择决定解题成功与否.一般的，当已知条件中不共线的两个向量的模和夹角确定时，它们往往可以构成一组基底.

（作者：侯仰古，太仓市明德高级中学）endprint