“几何画板”可以这样玩

文︳李超贵

“几何画板”可以这样玩

文︳李超贵

几何画板作为一款简单易学的数学软件，体型小巧却功能强大，可以为数学教学创设一个“做数学”的环境，开展数学实验，打造探究课堂，因而受到广大数学教师的青睐。笔者作为一名几何画板的忠实粉丝，也积累了一些使用心得，现略举一二。

一、开展数学实验，打造探究课堂

我们为了获得某种数学结论、检验某个数学猜想、解决某类实际问题时，可以利用几何画板的构造、计算、度量等功能创设“做数学”的环境，引导学生的数学思维积极参与，开展数学实验，打造探究课堂。

如对“两个三角形中有五个元素分别相等，那么这两个三角形一定全等吗？”这个问题的探究，可以设计实验探究活动——

探究1.请构造出一对三角形，它们有五个元素分别相等，但这两个三角形却不全等；

探究2.这样的三角形有多少对？能否找到一般性的构造方法？

根据两个三角形全等的判定定理，这五个元素只可能是三个角、两条边，否则一定是全等的。问题的关键是我们可否构造出相应的反例。很显然，图1所示的一对三角形有五个元素分别相等，但它们不全等。

为了进一步探究这类三角形，我们可以在几何画板中搭建如下实验平台：

第一步，新建参数 k，a（k＞0，a＞0），初始值k=1.200（注意调节参数属性，使数值精确度为千分之一，参数的键盘调节幅度为0.001），a=2.00；

第二步，计算 ka，k2a，k3a，并分别画出长为 a，ka，k2a，k3a的四条线段；

第三步，画线段AB=a，分别以A，B为圆心，以k2a和ka为半径画圆，记其中一个交点为C，再画线段DE=ka，分别以D，E为圆心，以k3a和k2a为半径画圆，记其中一个交点为F（如图2所示）；

图1

图2

第四步，改变参数a，k的值，观察图形的变化。

通过观察实验现象，我们可以发现分别以a，ka，k2a和 ka，k2a，k3a为边的两个三角形是符合条件的，它们是一对相似三角形，k是它们的相似比，用这种方法可以构造出无数多组这样的三角形。

那么，是否对于任意的参数a，k都可以构造出满足条件的一对三角形呢？通过实验我们会发现，当一对三角形构造出来后，仅改变a的值，只是改变一对三角形的大小。但当参数a固定，参数k变化到某个范围之外时，三角形并不存在（如图3、图 4所示）。

图3

图4

通过对实验现象的进一步思考，我们发现分别以 a，ka，k2a和 ka，k2a，k3a 为边构造三角形还需要满足三角形三边的一个基本关系，那就是“三角形任意两边之和大于第三边”。由此我们不难得到

二、辅助问题解决，促进命题创新

一些数学问题看起来可能很棘手，找不到解决的突破口，但利用几何画板先做一些定性的分析，往往会打开思路，甚至会有一些出人意料的发现。再通过定量计算或设计，就可以达到命题创新的目的。

如长沙市2017年中考试卷中有这样一道选择题：如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形 ABCD的周长为 m，的值为（ ）。

图5

本题若要通过计算手段找到△CHG的周长与正方形ABCD的周长间的关系并不简单，但如果用测量等实验手段找到答案并不困难。在几何画板中，选择正方形ABCD边CD上的动点H，构造出题中图形，测量出△CHG的周长值，再拖动点H，发现测量值不改变，说明△CHG的周长并不随点H位置的变化而变化。再测量出正方形ABCD的周长，并计算△CHG的周长与正方形ABCD的周长的比，结果为0.5（如图6所示）。

图6

实际上，过点A作AL⊥GH于点L，容易证得 Rt△ADHRt△ALH，Rt△ABGRt△ALG，于是DH=LH，BG=LG，这说明△CHG的周长等于BC+CD，恰好就是正方形ABCD的周长的一半。

在上面的问题中，△CHG的周长是一个不变量，由 Rt△ADHRt△ALH，Rt△ABGRt△ALG不难发现∠GAH的大小也是一个不变量（45°）。当然也有许多量随着H点位置的变化而变化，如四边形EFKH的面积，那么它的变化有什么规律呢？利用几何画板可以做进一步探索。

如图7所示，先度量出DH的距离x，四边形EFKH 的面积 S，依次选择 x，S，在“绘图”菜单中绘制点 P（x，S），再选择点 H，在“构造”菜单中选择“轨迹”，得到一个S关于x的函数图像，直观反映出四边形EFKH的面积S随H点位置变化的规律。分析图像特征，可以断定这是一个二次函数的图像。类似地，我们还可以研究四边形EFKH的周长、△AGH的面积，等等。

图7

通过上面的实验探究、定性分析，接下来做一些定量计算，我们可以设计一组新的问题：

如图8所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点H为正方形CD边上的一点（不与点 C、点 D重合），将正方形纸片折叠，使点A落在H处，点B落在K处，折痕为EF，连接AH。

图8

（1）求证：∠AHD=∠AEF；

（2）求证：△CHG的周长为定值；

（3）设DH的长为x，四边形EFKH的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。

（4）当点H移动时，设△DEH的周长为L1，△KGF的周长为L2，判断L1+L2是否为定值，为什么？

（5）设DH的长为x，△DEH的面积为S1，△KGF的面积为S2，S0=S1+S2，求出S0与x的函数关系式，试问S0是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由。

有了前面的实验手段作定性分析，再通过合情推理、定量计算，解决上面这组问题并不困难，读者不妨尝试一下，或许还有更多的发现。

几何画板是我们数学老师的好帮手，只要我们细心琢磨，还会玩出更多的花样。特别是我们把它当作一个数学实验的平台的时候，它的魅力会激发我们获得更多的发现与创造。

（作者单位：长沙市雨花区教育科学研究所）