椭圆曲线y2=qx(x2+4)的正整数点的个数

郑小英，赵建红

(丽江师范高等专科学校 数学与计算机科学系，云南 丽江 674199)

椭圆曲线y2=qx(x2+4)的正整数点的个数

郑小英，赵建红*

(丽江师范高等专科学校 数学与计算机科学系，云南 丽江 674199)

若q为无平方因子的正奇数，q的所有素因数qi(i∈Z+)都满足qi≡3,7(mod 8)为奇素数．本文主要利用同余、勒让德符号的性质等证明了椭圆曲线y2=qx(x2+4)当q≡7(mod 8)为奇素数时至多只有一个正整数点，除此以外均无正整数点.

椭圆曲线；正整数点；勒让德符号；奇素数；同余

1 问题的提出

椭圆曲线的整数点是数论中很重要的问题，有许多学者研究过椭圆曲线

y2=qx(x2+a),q,a∈Z+

(1)

的整数点问题．

a=1时，主要结论有：祝辉林和陈建华[1]、乐茂华[2]、管训贵[3]、杨海和付瑞琴[4]给出了为奇素数时椭圆曲线(1)的整数解的情况；窦志红[5]给出了为偶数时椭圆曲线(1)的整数解的情况．

a=2时，主要结论有：廖思泉和乐茂华[6]、杜晓英[7]、张瑾[8]给出了q为素数时椭圆曲线(1)的整数解的情况；陈历敏[9]、李玲和张绪绪[10]给出了q为奇数时椭圆曲线(1)的整数解的情况．

a=4时，主要结论有：2014年，崔保军[11]给出了q为奇素数时椭圆曲线(1)的整数解的情况．

a=4，q为无平方因子的正奇数，q的所有素因素qi(i∈Z+)都满足qi≡3,7(mod 8)时椭圆曲线(1)的整数点的情况目前还无相关结论，本文给出了此时椭圆曲线(1)的整数点的情况．

2 相关引理

引理1[12]方程D1A2-D2B4=1,A,B∈N+，至多只有一组解.

3 相关定理

定理1 如果q为无平方因子的正奇数，q的所有素因素qi(i∈Z+)都满足qi≡3,7(mod 8)，则椭圆曲线

y2=qx(x2+4)

(2)

当q≡7(mod 8)为奇素数时至多只有一个正整数点，除此以外均无正整数点.

证明设(x,y)，x,y∈Z+是椭圆曲线(2)的正整数点，因为q是无平方因子的正奇数，故由式(2)知q|y，设y=qz，z∈Z,将其代入式(2)，得：

qz2=x(x2+4)

(3)

因为gcd(x,x2+4)=gcd(x,4)=1或2或4，故式(3)可分解为以下3种可能的情形：

情形Ⅰx=ma2,x2+4=nb2,z=ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+,

情形Ⅱx=2ma2,x2+4=2nb2,z=2ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+,

情形Ⅲx=4ma2,x2+4=4nb2,z=4ab,q=mn,gcd(a,b)=1,a,b∈Z+,

下面分别讨论这3种情形下椭圆曲线(2)的正整数点的情况．

1) 情形Ⅰ的讨论

(ii)ngt;1时，n中至少含有一个素因子qj,j∈Z+，由题意得qj≡3,7(mod 8).将x=ma2代入x2+4=qb2，得

m2a4+4=qb2

(4)

对式(4)两边同时取模qj，得

(ma2)2≡-4(modqj)

(5)

2) 情形Ⅱ的讨论

将x=2ma2代入x2+4=2nb2，得4m2a4+4=2nb2，即：

2m2a4+2=nb2

(6)

(i)n=1时，m=q，此时(6)式为

2q2a4+2=b2

(7)

由式(7)知2|b，则令b=2c,c∈Z+，则(7)式为2q2a4+2=4c2，即：

2c2-q2a4=1

(8)

对式(8)两边同时取模q，得2c2≡1(modq)，即：

(2c)2≡2(modq)

(9)

(ii)ngt;1时，n中至少含有一个素因子qj,j∈Z+，由题意得qj≡3,7(mod 8).对(6)式两边同时取模qj，得2m2a4≡-2(modqj)，即：

(ma2)2≡-1(modqj)

(10)

3) 情形Ⅲ的讨论

(ii)ngt;1时，n中至少含有一个素因子qj,j∈Z+，由题意得qj≡3,7(mod 8).将x=4ma2代入x2+4=4nb2，得16m2a4+4=4nb2，即：

4m2a4+1=nb2

(11)

对式(11)两边同时取模qj，得4m2a4≡-1(modqj)，即：

(2ma2)2≡-1(modqj)

(12)

综上定理1成立.

[1] 祝辉林,陈建华.两个丢番图方程y2=nx(x2±1)[J].数学学报,2007,50(5)：1071-1074.

[2] 乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2±1)的正整数点[J].湛江师范学院学报,2008,29(3)：1-2.

[3] 管训贵.关于椭圆曲线y2=px(x2+1)的一个注记[J].四川理工学院(自然科学版)，2010,23(4)：384 +393.

[4] 杨海,付瑞琴．一类椭圆曲线有正整数点的判别条件[J].纯粹数学与应用数学，2013,29(4)：338-341.

[5] 窦志红.椭圆曲线y2=2px(x2+1)上正整数点的个数[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(2)：210-212+235.

[6] 廖思泉,乐茂华.椭圆曲线y2=px(x2+2)的正整数点[J].数学杂志,2009,29(3)：387-390.

[7] 杜晓英.椭圆曲线y2=px(x2+2)在p≡1(mod 8)时的正整数点[J].数学的实践与认识,2014,44(15)：290-293.

[8] 张瑾.椭圆曲线y2=px(x2+2)有正整数点的判别条件[J].数学的实践与认识,2015,45(4)：232-235.

[9] 陈历敏.Diophantine方程y2=px(x2+2)[J].数学学报,2010,53(1)：83-86.

[10] 李玲,张绪绪.椭圆曲线y2=nx(x2+2)的整数点[J].西安工程大学学报,2011,25(3)：407-409.

[11] 崔军保.椭圆曲线y2=px(x2+4)的正整数点[J].佳木斯大学学报,2014,32(6)：962-963.

[12] LJUNGGREN W.Ein satzüber die diophantische gleichungAx2-By4=C(C=1,2,4)[J].TolfteSkand Mat Lund, 1953, 8(2):188-194.

责任编辑：时凌

TheNumberofPositiveIntegerPointsonEllipticCurvey2=qx(x2+4)

ZHENG Xiaoying,ZHAO Jianhong*

(Department of Mathematics and Computer Science, Lijiang Teachers College,Lijiang 674199,China)

Letq≡7(mod 8) be an odd prime number, whose odd prime factor could beqi≡3,7(mod 8).It is proved the elliptic curvey2=qx(x2+4) has only one positive integer point by some properties of congruence and Legendre symbol.

elliptic curve；positive integer point；Legendre symbol;odd prime number；congruence

2017-03-24.

云南省科技厅应用基础研究计划青年项目(2013FD061)

郑小英(1986-)，女，主要从事数论及现代教育技术的研究.*

：赵建红(1981-)，男，硕士，副教授，主要从事初等数论的研究.

1008-8423(2017)04-0420-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2017.12.015

O156.1

A