基于热传导理论的屋顶保温层厚度的优化与设计

肖生春，吕堂红

（长春理工大学 理学院，长春 130022）

基于热传导理论的屋顶保温层厚度的优化与设计

肖生春，吕堂红

（长春理工大学 理学院，长春 130022）

为了更好地满足人们对建筑物的舒适性与健康性的要求，针对提高建筑物的保温性能与节约能源、降低建筑造价相互矛盾的现状，运用热传导理论对屋顶的最佳保温层厚度进行了讨论，建立最佳保温层厚度的优化模型。首先，利用多层平壁稳定热传导公式，确定周期内年平均节能费用与保温层厚度的函数关系式；然后以平均节约费用最高为目标建立优化模型，利用MATLAB计算出珍珠岩的最佳保温层厚度应为12.8cm；最后分析并计算了三种可替换保温材料的最佳保温层厚度，绘出三种材料保温层厚度与年单位面积节约费用的效果图，并综合考虑节能效益及材料造价等多方面因素，最终得出聚氨酯为最佳保温材料的结论。

热传导方程；节能；使用年限；聚氨酯

1 模型背景及分析

目前，我国城市居民楼很多都是平顶屋。北方地区这样的屋顶，夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到75℃，冬季为零下40℃。现代人对居住环境的要求越来越高，为了使室内常年保持适宜温度，人们一方面在室内设置采暖设备和空调设备，另一方面又在提高房屋维护结构的保温能力，以降低能耗。在建筑中合理地使用保温材料，同时将保温层确定在适宜厚度是非常重要的［1］。因为这样既能提高建筑物的保温性能，使之更好地满足人们对建筑物的舒适性与健康性的要求，保证正常的生产和生活，又能减少热耗损，减轻屋面体系的自重，减少基本建材的用量，从而达到节约能源，降低建筑造价的目的［2］。

2 模型假设

（1）本文讨论的城市居民楼其顶层高于12m，是简单的平顶屋即不考虑建筑结构对保温层的影响，并且在以下计算都只考虑顶层楼层和独立房间；

（2）不考虑地板的热量散失与吸收，冬季不考虑冷风渗透的耗热量；

（3）墙体中窗户的热量散失与吸收按墙体计算，并不考虑通风、换气这些随机参量；

（4）本文暂不考虑贴现系数，即认为物价水平是恒定的；

（5）本文讨论的是中国北方地区，计算中数据以北方某一地区为例。

3 变量说明

文中各参数所代表的意义如表1所示。

表1 文中各参数意义

4 模型建立和求解

首先，利用多层平壁稳定热传导公式［3］和流体间的热量传递公式［4］建立传热平衡时的函数关系式，并由此导出节能效益。其次，从实际情况出发，得出保温层厚度所应满足的约束条件。最后，利用MATLAB分析得出最佳保温层厚度，并简要分析了其它保温层替换材料。

一般我国北方地区的建筑物的平屋顶结构图如图1所示。

4.1 节能经济效益与保温层厚度的函数关系式的建立

（1）单位面积屋顶总热阻及传热系数的计算

屋顶各种材料的热导率和厚度如表2所示。

单位面积总热阻可按下式计算：

故R总＝1/14＋1/40＋d0.065＋1/40＋20/79＋3/160+1/30＝0.4267+d0.065

传热系数：

（2）冬季整个供暖期单位面积屋顶散失的热量计算：

表3是北方部分地区供暖时间。

下面以沈阳为例进行计算。

设城市居民楼主体采用框架结构，六层楼，层高2.8m，占地面积为600m2，长宽分别为60m和10m。由表2可知供暖时间集中在11，12，1，2，3这五个月，而这五个月的平均气温如表4所示。

表2 屋顶各种材料的热导率和厚度汇总表

表3 北方部分地区供暖时间汇总表

表4 沈阳五个月的平均气温

因此可通过下式计算供暖期间各月单位时间单位面积散失的热量：

于是每年采暖期内单位面积屋顶散失的总热量为以上各月之和：

（3）冬季单位面积节约的年采暖费用

由于保温层的有无只会影响屋顶的散热量，而不影响墙体的散热量，故采暖费用的缩减只与屋顶有关，而跟墙体没有关系，所以在此只需考虑有了保温层之后屋顶减少的散热量即可。

单位面积节约的年采暖费用可按下式计算：

其中，cf＝0.4￥/kg；η1＝0.9；η2＝0.68；Hc＝2.93×107J/kg。

将上述数据代入（6）可得：

（4）夏季单位面积屋顶吸收的热量计算

假设夏季炎热时，室内制冷主要靠空调，且要室内保持26℃

表5 各月单位时间单位面积散失的热量

代入数据得：

若夏季用空调的时间为50天，这些日子的平均气温为32，则夏季单位面积屋顶吸收的总热量为：

（5）夏季节能计算

则整个夏季用电量为：

（6）保温层费用的计算

表6是某地珍珠岩颗粒，膨胀珍珠岩板，水泥珍珠岩板，沥青珍珠岩板价格信息，故取珍珠岩保温层价格为150元/m3，又其它费用（如人工费）总计10元/m3。则珍珠岩保温层的总费用为160元/m3，又假设该保温层的使用年限为10年。于是可知平均每年单位面积的珍珠岩保温层的费用为：

（7）年单位面积的节能费用为：

4.2 保温层厚度的约束条件的确定

（1）首先，应保证冬天最冷日子时的市内温度适宜，即最冷日子的散失的热量要小于暖气补给的热量。

由于暖气片的散热量为574W/片，以一般北方居民楼为例，假设居民楼单位面积暖气片最多为0.2片，则暖气片总散热量为0.2×574＝114.8W，所以：

Q1按下式计算：

将T1=18℃，t1=-40℃代入（14）式得：

可按下列方法计算：

令a=1.0；K=1.27；fg=15%；将上述数据代入（14）得：

乘以θ计算，θ为系数，即顶层墙体面积与屋顶面积比，可取θ＝0.6533得：

将tn=18℃，tw=－30.6℃代入式（17）得：

所以：

解得：

（2）另外，应保证夏天最热日子时的室内温度适宜即最热日子里吸收的热量要小于空调的制冷量，由于家用空调单位面积制冷量为80～120W。故应有：

表6 三种保温材料报价表

Q2按下式计算：

将T2＝75℃，t2＝26℃代入式（20）得：

于是有：

解得：

4.3 最优解的确定及节能效益分析

为节能效益最大，即求式（12）的最大值，为此用Matlab编程计算得最佳保温层厚度：

这时单位面积年节能费用为：

4.4 其它保温材料的节能效益分析

（1）聚氨酯材料

聚氨酯的导热系数为0.022，平均每年单位体积的保温层的费用为130元，使用年限为10年，可利用上述模型计算最佳保温层厚度，则：

则由约束条件知，应满足（23）（24）两个式子：

利用Matlab求得：

年单位面积的节能费用亦用上述程序计算得：

年单位面积最大年节能费用：

另外聚氨酯还有以下优点［4］：

①聚氨酯硬泡体直接喷涂于屋面层，系反应物料受压力作用，通过喷枪形成混合物直接发泡成型，液体物料具有流动性、渗透性，可进入到屋面基层空隙中发泡，与基层牢固地粘合并起到密封空隙的作用。其粘结强度超过聚氨酯硬泡体本身的撕裂强度，从而使硬泡层与屋面基层成为一体，不易发生脱层，避免了屋面水沿层面缝隙渗透。聚氨酯硬泡体能够与木材、金属、砖石、混凝土等各种材料牢固粘结。

②具有很强的抗渗透能力，通过机械化施工，屋面形成无接缝连续壳体。

③异型屋面极易施工，结点处理简单方便，防水性能可靠。

④重量轻、大大减低屋面荷载聚氨酯硬泡体40mm代替了传统做法中的防水层、保温层及其中间的找平层等，且40mm厚的聚氨酯硬泡体每平米重量约为2.4kg，大大降低屋面荷载，适合各种平面、曲面、结构复杂的屋面。

⑤抗老化强度的温度范围大

⑥聚氨酯硬泡体在低温-50℃情况下不脆裂，在高温+150℃情况下不流淌，不粘连，可正常使用，且耐弱酸，弱碱等化学物质侵蚀。

⑦施工简便迅速，简化了屋面整体的施工工艺机械化施工，施工人员少，减少安全隐患，一套进口设备在良好条件下每天可完成800-1000平米的施工，比常规防水保温材料施工时间节省80%。

⑧旧屋面维修翻建 当旧基层未发生脱层、起鼓，可以不铲除旧基层，直接在旧基层上喷涂施工降低了工程强度和难度，节省工程造价及施工时间。无氟发泡，绿色无污染采用先进的无氟发泡技术，符合环保要求。

（2）挤塑聚苯乙烯泡沫板

XPS的导热系数为0.03，平均每年单位体积的保温层的费用为550元，使用年限为40年，可利用上述模型计算最佳保温层厚度，则：

则由约束条件知，应满足（25）（26）两个式子：

利用MATLAB求得：

年单位面积的节能费用亦用上述程序计算得：

有年单位面积最大年节能费用：

另外XPS还有以下优点［5］：

①卓越持久的特性

性能稳定，不易老化。挤塑板可用35～50年，极其优异的抗湿性能，在高水蒸气压力的环境下，仍然能够保持低导热性能。而发泡式的保温材料如硬质高密度发泡保温材料使用五年之后即老化，随之导致吸水，造成性能下降。

挤塑板用于低温储藏室内极佳，如冷库、冷藏车，工作温度为-54℃～75℃。

②无与伦比的隔热保温性能

华能挤塑板具有闭孔性结构，且其闭孔率达99%，故其保温性能好。虽然发泡聚氨酯为闭孔性结构，但其闭孔率小于华能挤塑板，仅为80%左右，而其它的保温材料均系开孔性结构，导热系数大，所以其它屋面保温材料要达到华能挤塑板的效果是很难的。

挤塑板无论是隔热性能、吸水性能还是抗压强度等方面特点都优于其它保温材料，故在保温性能上也是其它保温材料所不能及的。

③意想不到的抗压强度

华能挤塑板的抗压强度可根据其不同的型号厚度达到150～500千帕以上，而其它材料的抗压强度仅为150～300千帕以上，可以明显看出其它材料的抗压强度，远远低于华能挤塑板的抗压强度。

④万无一失的吸水性能

用于路面及路基之下，有效防止水渗透。尤其在北方能减少冰霜渗入及受冰霜影响的泥土结冻等情况的出现，控制地面冻胀的情况，有效阻隔地气免于湿气破坏等。

（3）泡沫玻璃

导热系数为0.058，平均每年单位体积的保温层的费用为1900元，使用年限为50年，可利用上述模型计算最佳保温层厚度，则:

则由约束条件知，应满足（27）（28）两个式子：

利用MATLAB求得：

年单位面积的节能费用亦用上述程序计算得:

有年单位面积最大年节能费用:

泡沫玻璃保温系统其它特点［6］：

①安全可靠

泡沫玻璃外墙外保温系统构造简单，自重轻。粘结、罩面采用聚合物水泥砂浆，耐候性好与墙面粘结牢固，整体性能良好，能有效地避免保温层下坠掉落的风险。

②节能效果永久

泡沫玻璃系无机材料，闭孔、重量轻不老化且保温性能不会因任何外界因素的影响而下降。

③抗渗能力强

泡沫玻璃自身闭孔、不吸水，且罩面层抹聚合物水泥砂浆也有很强的防水性能，所以该系统既保温隔热，又解决了墙面的防水渗漏。

④抗冲击性好

外墙保温隔热泡沫玻璃强度较高（≥0.5MPa），且罩面聚合物水泥砂浆（网格布）具有较大抗冲击强度。

⑤施工简单无污染

聚合物水泥砂浆配方简单（或相应干粉砂浆）。采用传统手工抹压、粘贴泡沫玻璃。系统所用材料无毒无害、无白色污染，纯属绿色环保产品。

泡沫玻璃是一种性能优越的绝热（保冷）、吸声、防潮、防火的轻质高强建筑材料和装饰材料，使用温度范围为零下196度到450度，A级不燃与建筑物同寿命。

通过对以上三种保温层材料的综合比较和计算，可以看出聚氨酯硬泡集耐久性、防水性、保温性、隔热性、无缝性、粘接性、环保性、经济性等多优良性能于一身。XPS挤塑聚苯乙烯发泡板材有强度好、质轻、不透气、耐腐蚀、抗老化、价格低的特点。炮沫玻璃具有极强耐候性、耐久性，使用寿命与建筑物同步，施工方便，强度高，导热系数低，不吸水等特性，还具有抗紫外线、风雨能力强，保温隔热效果永久的特点。

表7 三种保温材料性能对比表

图2为各种保温材料的单位面积年节能费用与保温层厚度关系图。

图2 各种保温材料的单位面积年节能费用与保温层厚度关系图

由此可以推断出聚氨酯材料是最合适的材料，它保温防水一体化是目前世界上最优良、最经济的屋面保温防水体系。不仅本身材料的特性符合需要而且年单位面积最大年节能费用是最大的。

5 模型结论与模型评价

5.1 模型结论

通过建立数学模型并利用MATLAB软件，计算出珍珠岩的最佳保温层厚度应为12.8cm；最后分析并计算了三种可替换保温材料：聚氨酯材料、挤塑聚苯乙烯泡沫板、泡沫玻璃的最佳保温层厚度分别为0.105m、0.115m、0.075m，给出三种材料保温层单位面积年最大节约费用分别为11元、10.43元、6.53元，并综合考虑节能效益及材料造价等多方面因素，最终得出聚氨酯为最佳保温材料的结论。

5.2 模型优点

（1）本模型计算方法简单明了，实用性较强。

（2）充分考虑了经济因素，能够有效地节约能源，在实际建筑中具有一定的指导意义。

（3）模型以具体某地为例计算说明，更加直观，若将相关地区数据略作代换，亦可用于其它地方作为参考，因此具有一定的普遍性。

5.3 模型缺点

（1）部分计算数据采用近似处理，可能导致计算结果的微小误差。

（2）本文未考虑其它工程问题对保温层厚度的影响，故实际工程中有一定局限性。

（3）本模型中屋顶各层密度的不均匀分布，热流在各层耦合部传导过程中存在的热桥问题以及外界温度与室内温度都存在一定范围的波动等等，这些都制约了模型对保温层最佳厚度的确定。

［1］朱江，李国忠.聚丙烯纤维玻化微珠复合保温材料的性能［J］.建筑材料学报，2015，18（4）：658-662.

［2］丁向群，张冷庆，鲁中举，等.膨胀珍珠岩保温材料的制备与性能［J］.沈阳建筑大学学报：自然科学版，2017，33（4）：120-125.

［3］侯星，薛群虎，郝永立，等.水泥基发泡保温材料的制备工艺与性能研究［J］.2017，38（8）：2409-2413.

［4］李少香，刘凯，孙立水.不同轻质骨料类型对复合保温材料性能的影响［J］.建筑材料学报，2016，19（2）：245-250.

［5］朱晓玲.环保节能型墙体保温材料在绿色建筑中的应用［J］.建材与装饰，2017，42（29）：50-51.

［6］邵文明.建筑节能墙体保温材料的性能及其实践标准应用探讨［J］.中国标准化，2016，7（9）：182-184.

Optimization and Design of Roof Insulation Thickness Based on the Heat Conduction Theory

XIAO Shengchun，LV Tanghong
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

In order to meet people's comfort and health requirements of buildings better，based on the contradictory between improving the insulation performance of building、saving energy and reducing the cost of building，the authors of this paper discussed the best thickness of insulation layer on the roof by using the theory of heat conduction，and established the optimum model of the best insulation layer thickness.Firstly，we used the formula of stable heat conduction of multi-layer flat wall to establish the function relation between the annual average energy saving cost in one period and the thickness of the insulation layer；Then we set up an optimization model with the highest average cost saving as a goal，and used MATLAB to calculate the optimum insulation thickness of perlite which should be 12.8cm；Finally，we analyzed and calculated the best insulation thickness of three kinds of replaceable insulation materials，and drew the effect pictures of insulation layer thickness of the three kinds of materials and the annual cost saving per unit area，we ultimately drew the conclusion that polyurethane is the best thermal insulation material by considering many kinds of factors，such as the energy saving benefit and material cost and so on.

heat conduction equation；energy saving；service life；polyurethane

O175.1

A

1672-9870（2017）05-0136-07

2017-09-29

国家自然科学基金（10726062）

肖生春（1980-），男，博士，讲师，E-mail：xiaoshengchun

吕堂红（1979-），女，副教授，E-mail：lvtanghong@163.com