数形结合思想在小学数学教学中的应用

林智

数形结合是指通过数上构形或形中觅数来解决问题的一种思想方法。在小学数学教学中，它既是一种重要的数学思想与方法，又是一种理解数学、学好数学的有效手段。我们在研究数的时候，往往要借助于形的直观来分析，使数更加清晰、透彻；在探讨形的时候，又往往离不开数的本质。因此，在小学数学教学中有机地渗透数形结合思想，通过寻找数与形之间的关系，能使疑惑概念、难解题目豁然开朗，迎刃而解。

一、以形述数

小学生认知是从具体到抽象、从低级向高级发展的一个过程，但他们的抽象逻辑思维仍是直接与感性经验的联系，具有很强的具体形象性。因此，在教学数的问题时，应借助形的直观，突出形象思维，使学生在图形的操作或观察中掌握知识。

1.以形悟数，在直观中建立概念

数学概念是数学知识的种子，是发展学生思维能力的源泉。因此，在教学抽象的概念时，应以形的直观形象来表达数的精确，使学生在理解概念的同时抽象出概念的内涵与外延，从而构建正确的、科学的数学概念。

例1：人教版《数学》四年级下册“小数的近似数”中，强调“在表示近似数时，小数末尾的0不能去掉”。学生能记住这个概念，但很容易与小数的性质（小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变）混淆，如何引导学生比较近似值7.8和7.80的异同点呢？教学中笔者在数轴上表示出近似值7.8和7.80的取值范围（图1），使学生清晰地看到为什么7.80末尾的0不能去掉，同时也深刻地感悟到7.80比7.8更精确。

通过用数轴直观、形象的分析，不仅帮助学生理解近似数的概念，同时在学生脑海中構建了小数近似值的数学模型，对精确到小数的位数有了更本质的认识。

2.以形解数，在联接中体悟方法

小学生的思维以形象思维为主，抽象思维相对较弱。在教学中，把抽象的数量关系通过直观的、形象的图来表示，达到化隐为显、化难为易，从而将一些数学问题进行有效的转化，使解题思路更加明了。

例2：人教版《数学》四年级下册“乘法分配律”之后，出现了“1997×2013-1996×2014”一题。由于题中的数据比较大，直接计算比较麻烦且容易错，因此须要分两次利用乘法分配律来计算，能理解的学生很少。于是把这道题通过数变形进行教学，形象直观地表达此题的意义，正确率明显提高。在教学时，借助图形进行如下的教学：首先构建如图2的两个长方形，长方形ABCD和长方形AEFG，CD=2013，AD=1997，AE=2014，EF=1996。由图所知，ABHG是两个长方形重叠的地方，于是就把原式的计算转化为求两个长方形的面积之差，即求长方形GDCH和长方形BEFH的面积之差，借助几何直观容易看出长方形GDCH和长方形BEFH的宽都是1，所以，两者之差：2013×1-1996×1=17。

通过这样直观、形象的分析，学生在数与形的联接中充分感受到解决问题策略的多样性。

3.以形构数，在过程中探究奥秘

数和形是研究的两个对象，在解决一些抽象的、复杂的、不好解释的问题时，利用形象、直观的形来揭示复杂、抽象的数学问题，数上构形、形中觅数，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，化难为易，化抽象为直观，既激发学生的学习兴趣，又促进学生思维能力的提高。

这样，通过数与形的结合，既让学生在画图中探究了数的奥秘，又在探究的过程中深刻地感悟极限的思想，享受着探究数学奥秘的有趣过程。

二、以数联形

数的抽象用形的直观来表达，使之隐含的数在直观的形中显现，以之凸显数的知识与本质。

1.以数显形，在观察中理解本质

在小学数学计算教学中，有意识地用形来引导学生在观察中寻找算法背后所蕴含的算理，以之来揭示计算的全过程，使学生在观察中真正理解与领悟。

例4：人教版《数学》五年级下册“数与形”中的计算题：1+2+3+…+99+100+99+……+3+2+1=？和1+3+5+……+197+199=？引导学生把这里的每一个加数都想象成一个点，通过在点阵图中的分布中去寻找、去观察，从而发现从另一个角度去思考的经典解法。

如图（4-1）所示，从上往下一层一层数，即可得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，再仔细观察，图（4-1）顺时针旋转45°就得到图（4-2）直视的正方形点阵图，即可得到总数10×10=100。

再根据图（4-2）从下往上沿着折线数，便可得出：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔细观察图形即可发现这两题都可以用一种方法10×10=100来计算的规律。

通过这样的教学，不仅使学生发现不同的计算可用同一的形来呈现所蕴含的本质，也使学生在观察中找到数与形的一一对应，更加深刻地感悟到计算方式的多样性。

2.以数想形，在对比中抽象本真

在实际教学中，学生在建立表象后，一般用数的抽象来解决形的直观，而很少从多角度去思考问题的本真。实践证明，给予学生足够的时间，让学生抓住数的特征，在探究过程中从每个角度去想象、分析、思考，在对比、归纳中逐渐理解概念、抽出本质，以使学生的空间观念得到发展，逻辑思维能力得到培养。

例5：人教版《数学》五年级上册“三角形的面积”的教学，在得出三角形的面积计算公式后，帮助学生理解同底等高的三角形面积相等这一性质。先让学生计算图（5-1）三角形的面积，再让学生想象，底为6高为4的三角形就只有这一个吗？若有，还可能是怎样的？让学生进行头脑大风暴，在对比中一一呈现（图5-2）。

学生在这些形状不同的三角形中进行对比，逐渐领悟同底等高的三角形面积相等这一性质的本真。

3.以数释形，在明理中构建概念

图形以直观、形象吸引了人们的视觉，在数学课堂中亦是如此，但是有些教学过程中，仅仅凭直观图形展示数学教学，有时不但不能很好地诠释形，不能理解形背后的精髓，还会影响到数学教学的本真。这时，就应以数来诠释形的价值及形后隐性的特征、规律，使学生更好地理解形，让形发挥更大的作用。endprint

例6：人教版《数学》六年级下册“图形的放大与缩小”的教学中，教师提供了几幅不同大小的长方形国旗，并提问：这几副图中，哪几副看上去舒服，形状相同？为什么？在这个问题的指引下，学生初步感知在生活中哪些图形是正常的。在此基础上进一步让学生去探索长放大的倍数和宽放大的倍数相等。

感受放大与缩小是“大小不同，形状相同”，从而进一步明白比的本质以及比在生活中的运用，为后续学习奠定基础。

三、数形互译

数中有形，形中有数，数形互译，事半功倍。教学过程中，既要抓住表象的直观分析，又要注重严谨的逻辑推理，用形的直观来阐述数的抽象，以数的精确性来反映形的某种属性，把数与形统一起来理解，使学生在思考中不断提升。

1.数形互译，在融合中构建新知

数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中比比皆是。在计算教学中，算理与算法用数与形一一对应，使学生切身体验算理的过程，深刻理解算理的本质；在概念教学中，数形结合，有助于学生在掌握概念的同时，以形的直观来加深对数的理解，又以数的真实来促进对形的感悟，使之更好地构建新知；在数学广角的教学中，更离不开数与形的结合，借助数与形使学生在认知的程度上减缓认识的难度，提高解决问题的能力。

例7：人教版《数学》六年级上册“数学广角”的练习中出现了完全平方公式，用小学知识如何理解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們可以结合图形用面积计算的知识探索一下（图6）。（a+b）2可以看成边长是a+b的大正方形面积，在大正方形中分出一个边长为a的长正方形、一个边长为b的中正方形和两个相同的长方形，发现大正方形面积就是a2+2ab+b2，所以得出（a+b）2=a2+2ab+b2

此外，在容斥问题、行程问题中，图形更是好帮手，甚至可以说离开了图，小学生很难理解这类问题。但把数与形有机结合起来教学，既能激发学生的学习兴趣，又能使学生积极主动地学习，有效构建新知，从而使课堂达到有效甚至高效。

2.数形互译，在理解中提升思维

数学学习，无一不是数与形互相结合的学习，但教学时不能仅仅停留在空间观念的形成和利用公式的计算上，而要在解决问题时注意数形互译，使之培养学生的问题意识和发展学生的思维能力，提升学生的思维品质。

例8：人教版《数学》六年级下册“策略问题”中的一道习题：一只蚂蚁在一张6×5网格的左下角A点处，要爬到右上角的B点去，其中间有一个4×1的长方形空格，其余都是正方形，则蚂蚁从A点爬到B点的最短路径的不同爬法有多少种？这个问题若用列举法解决，则比较繁琐且容易出错。如果通过数形相结，把题中的数量关系转化成图形关系，便能更直观、方便地探究出数的奥秘。如图7所示，求蚂蚁从A点到B点的最短路径的不同爬法有多少种？就是求A到B的最短路线有多少条？使用标数法，就能很清晰地看出最短路线的种数。这样一来，就很容易算出从A到B的最短路线共有182条。

这样，以数的精准呈现在形的直观上，两者和谐相融，使数、形富有活力，实现教学的有效性，从而更好地提升了学生的思维能力。

3. 数形互译，在思考中提高素养

在解决问题时，利用数形结合的思想 ，把形的直观和数的精确相互结合，不仅将抽象变具体、复杂化简单，而且实现了数中有形、形中有数，更有利于学生有效、甚至高效地思考，从而提高学生的数学素养。

例9：学习人教版《数学》六年级上册“圆的面积”后，我们可以利用圆面积推导过程中的转化思想来解决相关问题，以提升学生数学的思维能力。

①把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，宽为8厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？（图8）

②如果这个近似长方形的长为25.12厘米，则这个圆的面积是多少平方厘米？

③如圆的周长比拼成的长方形周长少16厘米，则这个圆的面积是多少平方厘米？

④如果拼成近似的长方形周长是66.24厘米，则这个圆的面积是多少平方厘米？

学生通过解决这一组问题，不仅促进他们对圆面积公式的理解，而且能使他们明白圆面积推导的本质，使学生通过数的计算促进空间观念的形成，从而提高小学生的数学思维能力和数学素养。

总之，在小学数学教学中，把数与形有机地结合起来，以形的直观揭示数的奥秘，以数的精确掀开形所蕴含的本质，使数形和谐相融，帮助学生建立数的概念，理解数的本质，使解题思路与过程更加具体，同时让学生享受探究数学奥秘的过程，更好地展现知识形成的过程，从而培养学生的思维能力和提高学生的数学素养，为学生的可持续发展奠定良好的基础。

参考文献

[1] 刘富森.“形”与“数”的融合——认识周长教学新探索[J].小学数学教师，2015（1）.

[2] 林明全.数形结合，解决数学问题的有效策略[J].数学学习与研究，2014（12）.

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[4] 钟国霞.数无形时少直觉 形少数时难入微——谈小学数学教学中数学结合思想的应用[J].新课程导学，2012（2）.

[责任编辑：陈国庆]endprint