关于递推数列求通项式公式的方法与技巧

李云昭

【摘要】递推数列被广泛关注，是高考与竞赛的热点，由递推关系求数列通项公式时，一般要对递推关系进行变形转化。

【关键词】变形 转化 通项公式

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）43-0136-02

递推数列既是高考和竞赛的热点，数学爱好者也十分感兴趣，由递推关系求通项时，一般需要对递推关系式进行变形，然后利用转化和化归的思想解决问题。根据递推公式的结构，选取与之对应的方法是解决问题的关键。本文就常见几类结构进行如下总结：

类型1：形如an+1-an=f（n）的递推数列，通常采用叠加法

例1：已知数列{an}满足a1=-1，an+1=an+■（n∈N+），求通项公式an。

解：由递推关系有：an-an-1=■

an-1-an-2=■

……

a2-a1=■

∴an-a1=■+■+…+■

=1-■+■-■+■-■+…+■-■

∴an-a1=1-■

故：an=-■

类型2：形如■=f（n）的递推数列，通常采用叠乘法。

例2：已知数列{an}中，a1=1，且（n+1）an+1-nan=0，求通项公式an。

解：递推关系变形为：■=■

则：■=■……（1）

■=■……（2）

……

■=■……（n-1）

叠乘以上各式有：■=■×■×■…×■=■

∴an=■

类型3：含有Sn和an的递推数列，通常采用“进一步”或“后一步”的办法解决问题。

例3：数列{an}的前几项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1，且n∈N），求an的通项公式。

解：由 an+1=2Sn+1

∴an=2Sn-1+1（n≥2且n∈N）

∴an+1-an=3（Sn-Sn-1）

∴an+1-an=2an 即an+1=3an

∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列

∴an=3n-1

例4：已知正项数列{an}的前n项和Sn=■（an+1）2，求通项公式an。

解：递推关系变形为4Sn=a■■+2a■+1

则：4Sn-1=a■■+2a■+1（n≥2）

∴4（Sn-Sn-1）=a■■-a■■+2（a■-an-1）

∴4a■=（a■■-a■■）+2a■-2an-1

∴a■■-a■■+2（a■+a■）=0

又 ∵a■+a■≠0

∴a■-a■=2

故：{a■}为等差数列。（以下略）

类型4：形如a■=pan+q（p、q为常数）的递推数列可以转化为：a■-t=p（a■-t）型递推公式，通过求{a■-t}的通项公式，而求{a■}通项公式。

例5：已知数列{a■}中，a1=1，a■=2an+3，求通项公式{a■}

解：递推关系可以转化为a■-t=2（a■-t）

即：a■=2a■-t

解得：t=-3

故：数列{a■+3}是以4为首项，2为公比的等比数列。

則：a■+3=2n

∴a■=2n-3

类型5：形如a■=pan+qn的递推数列可以变形为■=■·■+■转化为第4种类型处理。

例6：已知数列{a■}中，a■=2an+2n，且a1=1，求通项式。

解：递推关系可以变为■=■+■

则■是首项为■，公差为■的等差数列

则：■=■+（n-1）■=■n

故：a■=n·2n-1

练习：已知数列{a■}中，a1=1，an+1=3an+2n，求通项公式{a■}

类型6：形如an+1=■的递推数列，通常采用倒数法处理

例7：已知数列{a■}中，a1=2，an=■（n≥2且n∈N），求通项公式an

解：由已知有■=■=1+■

∴■为等差数列，以下略。

类型7：含有SnSn-1或anan-1的递推数列，通常用两边同时除以SnSn-1（或anan-1）的办法处理。

例8：已知在数列{a■}中，a1=3，且2an=SnSn-1（n≥2），求数列的通项公式{a■}

解：由已知有2（Sn-Sn-1）=SnSn-1（n≥2）

则：2■-■=1

∴■-■=-■

∴■为等差数，首项为■，公差-■

∴■=■+（n-1）×-■=-■n+■

故：S■=-■

故：a■=3（n=1）■（n≥2）