数学开放题在初中课堂教学的探索

文 阳春市实验中学 林良成

数学开放题在初中课堂教学的探索

文 阳春市实验中学 林良成

在大力推行素质教育的今天，教学上要求培养学生的创新能力，已经日益引起数学教育界的注意，逐渐成为数学教学改革的热点，而数学开放问题的提出和解决正是渐进地鼓励学生通过自己的探索、体验，构建新的认知结构。

一、解决数学开放性问题的几个方法

1.猜想与证明的方法

许多数学中的存在性问题，事先仅给出了问题对象的一些特殊关系，要求去探索它存在的一般结论。解决这类问题，可以通过特例分析、类比联想的途径，猜想出一般结论的存在性，然后加以证明。

解：设存在点A，B关于y=x对称，则AB所在的直线方程为y=-x+b。

所以x1+x2=-2，可知b=-2。

而x2+2x+2=0无实数解，因此假设错误，即在抛物线上不存在关于直线对称的两点。

例 2：已知，以 Rt⊿ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，过D作⊙O的切线交BC边于点E。

（1）如图，求证：BE=CE=DE；

（2） 试问在线段DC上是否存在 点 F，满 足BC2=4DF·DC， 若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由。

（1） 证： 连结 BD， 由于 ED、EB是⊙O的切线，由切线长定理，得ED=EB， ∠DEO=∠BEO，∴OE垂直平分 BD， 又 ∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BD，∴AD∥OE， 即 OE∥AC， 又 O为AB的中点，∴OE为⊿ABC的中位线，∴BE=EC，∴EB=EC=ED。

（2）在⊿DEC中，由于ED=EC， ∴∠C=∠CDE， ∴∠DEC=180°-2∠C。

①当∠DEC＞∠C时， 有 180°-2∠C＞∠C， 即 0°＜∠C＜60°， 在∠DEC内，以ED为一边作∠DEF使∠DEF=∠C，且EF交 DC于点F，则点F为所求，理由如下：

在⊿DCE和⊿DEF中，∠CDE=∠EDF， ∠C=∠DEF， ∴⊿DEF∽⊿DCE， ∴DE2=DF·DC， 即， ∴BC2=4DF·DC。

②当∠D E C=∠C时，⊿D E C为等边三角形，即∠D E C=∠C=，此时，C点为满足条件的F点，于是，DF=DE=DC，仍有BC2=4DE=4DF·DC。

③当∠DEC＜∠C时， 即 180°-2∠C＜∠C， 60°＜∠C＜90°， 所作的∠DEF＞∠DEC， 此时点 F在 DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F。

2.启发学生回忆、联想

从已经掌握的知识或经验积累中，寻找可借鉴的方法或思路来进行尝试，使问题得以顺利解决。

例如，利用轴对称解决最短距离的问题时，可设计以下问题：

问题1：点 A，B在直线l两侧，在直线l上求一点C，使AC+BC最短？

问题2：点 A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点C，使AC+BC最短？

这两个问题逐步深入其中问题2的解决分别要受前一个问题的启示，借用前面的方法，问题1的答案显然，问题2也不太难，而且课本上有答案，但就需要学生独立探索、尝试。

二、开放题与日常的课堂教学

教师在教学过程中要积极创设开放的教学课堂，鼓励学生勇于猜想、质疑，大胆探索，引导学生根据问题的条件进行交流、讨论，寻求结论并探索解决的办法。教师坚持用开放题进行开放的课堂教学，在潜移默化中就可以培养学生的各种思维能力，使学生的视野得以开阔，能力得以提升，从而形成良好的思维品质和数学的应用意识，为他们今后继续学习和发展打下坚实的基础。

通过对开放题思维策略的研究，使我们认识到数学教学不应建立在 “概念、定理、例题、练习”的知识传授模型上，而应建立在对学生积极鼓励，引导学生进行探索的以学生为中心的创造型的教学模式上；研究开放题是课堂教学改革的要求。

责任编辑 韦英哲