两个涉及Seiffert和Neuman平均的双向不等式

沈林昌， 王君丽

(1.湖州善琏成人文化学校, 浙江 湖州 313000； 2.台州科技职业学院 成人教育学院, 浙江 台州 318020)

两个涉及Seiffert和Neuman平均的双向不等式

沈林昌1， 王君丽2

(1.湖州善琏成人文化学校, 浙江 湖州 313000； 2.台州科技职业学院 成人教育学院, 浙江 台州 318020)

应用实分析的方法，找到了最佳参数α1，α2，β1，β2∈(0,1)使得双向不等式：

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

Aα2(a,b)X1-α2(a,b)

对所有a,b>0和a≠b成立。其中P(a,b)，NGA(a,b)，X(a,b)和A(a,b)分别表示两个正数a和b的第一类Seiffert平均，Neuman平均，Sándor平均和算术平均。

第一类Seiffert平均； Neuman平均； Sándor平均； 算术平均； 不等式

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

Aα2(a,b)X1-α2(a,b)

一、前 言

对于a,b>0和a≠b，第一类Seiffert平均P(a,b)[1]253-266 [2]49-59，Neuman平均NGA(a,b)[3]277-289，Sándor平均X(a,b)[4]409-413和调和平均H(a,b)、几何平均G(a,b)、算术平均A(a,b)和p阶幂平均Mp(a,b)分别定义如下：

(1)

(2)

(3)

H(a,b) =M-1(a,b)

一直以来，第一类Seiffert平均P(a,b)、Neuman平均NGA(a,b)和Sándor平均X(a,b)与其他各种二元平均组合的比较研究吸引了许多学者的注意。

Seiffert[5]195-198证明了

对所有a,b>0和a≠b成立。

褚玉明等[6] [7]发现了最大值α1,α2和最小值β1,β2使得双向不等式

对所有a,b>0和a≠b成立。

在文献[3]277-289，Neuman证明了双向不等式

αA(a,b) +(1-α)G(a,b)

对所有a,b>0 和a≠b成立，当且仅当a≤2/3和β≥π/4。

Sándor[8]1-9证明了如下不等式：

推荐理由:作者曾获以色列布伦纳奖、以色列总理奖、美国犹太图书奖等奖项，这部小说被他视为自己创作成熟的标志。中文译本首次出版。小说讲述了1930年代巴勒斯坦的一个小村庄里，朱迪斯与她的三个爱慕者之间发生的故事。作者从宗教故事和神话传说中汲取灵感，并融入犹太乡村的风土人情，用魔幻现实主义的高超技法，将这个《雅歌》般的传奇娓娓道来。

对所有a,b>0和a≠b成立。

杨镇杭[9]证明了双向不等式：

对所有a,b>0 和a≠b成立。

本文的主要目的是给出最佳参数α1,α2,β1,β2∈(0,1)使得双向不等式：

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

对所有a,b>0和a≠b成立。

二、主要结果

为了证明本文主要结果，需要以下引理2.1。

引理2.1 对于-∞

定理2.2 双向不等式：

Aα1(a,b)X1-α1(a,b)

(4)

对所有a,b>0和a≠成立，当且仅当α1≤1/2和β1≥1- ln (π/2)=0.548 4L。

证明：双向不等式(4)可以写成如下形式：

(5)

从二元平均P(a,b)，X(a,b) 和A(a,b)是对称和一阶齐次的，不妨假设a>b>0。设ν=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，则从等式(1)和(3)式导致：

(6)

根据等式(6)，不等式(5)等价于：

(7)

设x=arcsin(ν)∈(0,π/2)。则简单计算可得：

(8)

其中

(9)

设f1(x)=ln[sin(x)/x]，f2(x)=xcot(x)-1，f3(x)=xsin(2x)-2sin2(x)，f4(x)=xsin(2x)-2x2，f5(x)=2xcos(2x)-sin(2x)，f6(x)=sin(2x)+2xcos(2x)-4x。那么，简单计算导致：

(10)

(11)

(12)

(13)

不难证明，函数x→tan(x)/x在(0,π/2)是严格单调上升且值域为(1，+∞)，从而等式(13)导致的结果是f'5(x)/f'6(x)在(0,π/2)是严格单调下降；那么，从引理2.1和等式(10)-(12)协同f'5(x)/f'6(x)的单调性，就可以清楚地看到函数f(x)在(0,π/2)是严格单调下降的。注意到：

(14)

(15)

所以，容易从不等式(5)，(7)和等式(8)，(9)，(14)，(15)协同函数f(x)的单调性得到定理2.2。

定理2.3 双向不等式：

Aα2(a,b)X1-α2(a,b)

(16)

对所有a,b>0和a≠b成立，当且仅当α2≤1/2和β2≥1+ln(4/π)=0.758 4L。

证明：双向不等式(16)能够表达成如下形式

(17)

(18)

设x=arcsin(ν) ∈(0,π/2)。则简单计算可得：

(19)

其中

(20)

设g1(x)= ln[4sin(x)/sin(2x)+2x]，g2(x)=1-xcot(x)。那么，简单计算导致：

(21)

(22)

不难证明函数x→x/sin(x)在(0,π)是严格单调上升，从而等式(22)导致的结果是g'1(x)/g'2(x)在(0,π/2)是严格单调下降；那么，从引理2.1和等式(21)协同g'1(x)/g'2(x)的单调性，可以清楚地看到函数g(x)在(0,π/2)是严格单调下降。注意到：

(23)

(24)

所以，容易从不等式(17)，(18)和等式(19)，(20)，(23)，(24)协同函数g(x)的单调性得到定理2.3。

[3] NEUMAM E.On a new bivariate mean,Aequationes[J].Mathematicac,2014(3).

[6] CHU Y M,QIU Y F,WANG M K,etc.The optimal convex combination bounds ofarithmetic and harmonic means for the

Seiffert’s mean[J].Journal of Inequalities and Applications,Article ID 436457,7 pages,2010.

[7] CHU Y M,QIAN W M,WU L M,etc.Optimal bounds for the first and secondSeiffert means in terms of geometric,arithmetic and

contra-harmonic means[J].Journal of Inequalities and Applications,2015(44).

[9] YANG Z H,WU L M and CHU Y M.Sharp power mean bounds for Sándor mean[J].Abstract and Applied Analysis,Article ID

172867,5 pages,2014.

[10] ANDERSON G D,VAMANAMURTHY M K and VUORINEN M.K.Conformal Invariants,Inequalities,and Quasiconformal Maps,

Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts[J].New York:John Wiley & Sons,1997.

TwotheDoubleInequalitiesInvolvingSeiffertandNeumanMeans

SHEN Lin-chang1， WANG Jun-li2

(1.Huzhou Shanlian Adult School, Huzhou 313000, China;2.School of Adult Education, Taizhou Vocational College of Science & Technology, Taizhou 318020, China )

In this paper, we apply the method of real analysisand and find the best possible parameterα1，α2，β1，β2∈(0,1) such that the double inequalities:

hold for alla,b>0 anda≠b, whereP(a,b)，NGA(a,b)，X(a,b)andA(a,b) are the fires Seiffert, Neuman, Sándor and arithmetic means of two positive numbersaandb, respectively.

first Seiffert mean; Neuman mean; Sándor mean; arithmetic mean; inequalities

2016-12-08

1.沈林昌(1961-)，男，浙江湖州人，中学一级，主要从事解析不等式研究；2.王君丽(1972-)，女，浙江台州人，副教授，主要从事凸函数与解析不等式研究。

O151.23

A

1672-2388(2017)03-0074-04