解题教学要启发学生什么

钱桂圣

[摘 要] 解题教学要启发学生什么？当然是思维、思想、素养，而不是技巧、技能、方法.本文以解题教学中启发学生什么为视角，谈谈当下教学需要注意什么、避免什么.

[关键词] 解题教学；数学；思维；思想；素养；技巧；技能；方法

数学解题教学教什么？这是一个很重要的问题. 不少教师认可解题教学主要是教方法、技能，有很多著作都在提学生应该掌握怎样的解题方法. 近年来随着自主招生的盛行，三位一体招生的实施，我们发现很多大学自主命题并不是看中学生有多少初等数学的技巧、技能，而更多的是考查学生的思维、思想、数学素养. 笔者认为，这正是高中数学解题教学需要转变的观念.

从近年来各地高考真题来看，命题者在渗透一种教学理念：要让陷入题海而加强熟练化的学生得不到高分，要让学会思考、有想法、有思维的学生得到挖掘. 因此更多原创的高考问题注重考查学生的思维、挖掘数学的本质、启迪学生的素养. 这是数学解题教学需要不断渗透和关注的核心.

以重要数学思想启发解题

初等数学的问题的确是千变万化的，技巧和方法可以多种多样，但在这些变换的背后存在着一些不变性——数学思想的使用. 中学数学是比较讲究数学思想的引导的，这与初等数学本身有着重要关联. 从解题的途径来看，主要是代数途径和几何途径，因此数形结合思想是众多思想方法中最值得启发思维的一种思想.

笔者以为，以形辅数是用几何的方式较好地呈现代数问题的解答，以数解形是用代数的方式全面地帮助图形化存在的思考不全面的较好的“良药”. 举一例来说明学生用数学思想启发问题的解决.

分析：以题中的形式来看，学生的基本思路是代数思考，但是又有无从入手的感觉. 代数的角度入手比较难（有兴趣的读者可从判别式角度思考），那么换一种简洁的思路是不是可以从几何角度入手？

师：原式中有两个变量，如何求最值呢？

师：（继续引导）分子、分母中分别含有sinθ，cosθ，你能联想到什么？

学生1：sin2θ+cos2θ=1.

学生2：单位圆上的点.

师：但是sinθ，cosθ都有系数a，那么随着a的变化，这好像不是一个单位圆. 那么可以怎样处理呢？

学生3：a≠0，可以分子分母都除以a，这样形式就比较整齐了.

师：很好！下面同学们讨论如何求出“斜率”的最值.

说明：遇到一些较难的题目，学生无法入手时，教师也不应该直接给出答案，而是应该通过师生互动的形式，逐步引导，搭建思维脚手架，让学生积极参与感受思维过程，逐步形成数学思想，进而提高思维品质. 通过师生互动，交流、讨论将不熟悉的问题转化为熟悉的常规问题. 学生在参与的过程中逐步形成化归与转化及数形结合等数学思想.通过共同合作将问题解决也可以培养学生的合作意识和创新意识. 有效的练习讲评应该注重思维过程，在潜移默化中培养学生启发其数学思想的形成.

以典型易错问题启发思维

典型问题、易错问题是具备典型性的重要问题，其有着重要的数学价值. 不少教师对于教学依旧存在教学两大误区：第一布置大量的训练，通过训练增加熟练度，将学生训练成流水线上的“熟练工”，从而遇到新的问题缺乏思考能力；第二正是因为大量的训练，教师对于错误问题来不及思考，没有深入点拨不同的学生不同的问题所在，导致学生听懂了教师的解答，却依旧在错误的问题中越走越远. 波利亚把解题活动分为四个阶段：理解题意、拟订方案、执行方案、回顾反思. 他指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾、思考.” 由此可见通过典型问题、易错问题对于启发思维的重要性.

问题2：将甲、乙、丙、丁、戊五个人保送到A、B、C、D四所大学，每个学校至少一人，求甲、乙两人被保送到同一所大学的概率.

师：两种解法看似都有道理，但是为什么答案不一样呢？请同学们讨论一下问题出在哪里.

学生通过分组讨论觉得第一种解法应该没有问题，第二种解法有同学提出总数应该是重复了.

师：你知道重复在哪里吗？如果是3个人分配到两所大学每个学校至少一人，请同学们分别按照以上两种解法列举一下基本事件的总数.

学生通过列举发现了第二种解法果然是出现了重复计算的问题，原来最后一个分配的学生和前面的计数出现了重复.

师：如何避免这种重复呢？我们再思考一个问题：从10名男生8名女生中选出3人参加数学竞赛，要求这3人中既有男生又有女生的选法有几种？

学生：错了！又重復了！

师：很好那你们能总结一下如何避免类似的错误吗？

师生总结：“至多”“至少”问题要注意分类讨论避免重复计数.

说明：通过对学生的错误解答进行了有效的分析、讲解，暴露了学生为什么错误的过程，能提高纠错的针对性.对于排列组合问题而言，恰恰是需要提供以少许问题换取大量思考的典型. 数学中还有不少类似的问题，诸如抽象函数定义域、概率问题的求解、向量几何化问题的解答、数列不等式的放缩等等，这些是需要思维量极大的知识点，是不能只通过大量训练得到的，这就需要分析典型的问题、易错的问题，从中思考知识的使用、知识的本质.

以数学相关实验拓展素养

核心素养于2016年在新的国家课程标准中被首次提出，这关乎数学教学重大的变革. 在中学数学学习中不能仅仅像以往那样只注重基本知识、基本技能、基本思想方法，还要从数学知识的学习中获得更高的有关人文的东西，比如说素养. 国家课程标准提出了六大核心素养，如数学抽象素养、数据分析素养、逻辑推理素养等等.

问题3：通过图形计算器研究《幂函数》教学.

？摇？摇通过给学生在平板上安装图形计算器APP，让学生摸索与幂函数相关的性质. 学生操作时间25分钟，第一次采用描点法在学案手动绘制，第二次采用平板软件绘制进行验证.

思考1：幂函数有没有共性？你找到了吗？

思考2：所绘制的幂函数必定通过哪个象限？有没有公共点？

思考3：幂函数的图像变化与什么有关？为什么？

思考4：通过这些幂函数你能再绘制一些类似的幂函数吗？

说明：这是一堂数学实验课，这堂课中笔者并没有占用学生多少时间，更多的时候是以学生绘制学案上的幂函数图像和利用数学软件图形计算器APP完成的，请学生用15分钟时间总结他们的研究成果.笔者发现，学生对于形如y=x（p，q互质）图像特征的总结远远比两堂课的课堂教学效果好，因为信息技术的合理使用，让学生在学习中找到了自身探索的乐趣和方向，是教学值得思考的地方.从数学实验中让学生的素养随着数学知识的研究获得了增加.

今天的数学教学已然不是只讲求基本知识、基本技能等等，更要注重学生思维的启发、数学本质的认知、数学素养的培养，这些方方面面也要求了教师自身不断的研究和学习，才能让学生的数学学习得到更多的收获，才明白数学解题教学启发的是什么.endprint