关于热力学空间概念的探讨

张启南

北京航空航天大学 航空科学与工程学院， 北京 100083

概念探讨

关于热力学空间概念的探讨

张启南*

北京航空航天大学 航空科学与工程学院， 北京 100083

在气体力学研究中，不可避免地将引用热力学的基本定律，过去在不少工科著者所用的论述中常将传热量Q和气体所做的功W的微增量写为dQ和dW。但从严格的数学理论而言，这是不正确的表达式。笔者在参与《航空空气动力手册》的编审中曾经提出过此问题，在手册的再版时已经改正为δQ和δW。但此后一些气体力学的著作未能引起注意，仍然习惯地写成dQ和dW。为此，在本文中作一个严格的证明，并提出了热力学空间的概念，以澄清以往的混淆。

热力学空间； 几何空间； 状况参数； 积分型全微分条件； 微分型全微分条件

1 全微分存在的条件

数学中专门研究全微分的理论说明：

若P、Q、R为x、y、z3个自变量在单连通域中的连续函数，而且都存在连续的偏导数。和式Pdx+Qdy+Rdz是某函数F(x，y，z)的全微分的必要充分条件为

1) 积分型条件

∮Pdx+Qdy+Rdz=0

(1)

2) 微分型条件

(2)

注意此两条件是等价的，即只有满足此条件，全微分式dF=Pdx+Qdy+Rdz才成立。

2 热力学第一定律

气体的物理性质由p、v、T3个状况参数唯一确定。其中：p为压强，v为比容，T为绝对温度。气体微分体的能量守恒定律为

δQ=dE(T)+pdv

(3)

此即热力学第一定律。式中：E为气体的内能，是T的单自变量函数。因此

dE(T)=cdT

(4)

式中：c为气体的定容比热。

气体所作的功就是pdv，可表示为δW。注意Q和W前面的符号暂时写为δ。

将式(3)写为

δQ=cdT+0dp+pdv

(5)

与和式Pdx+Qdy+Rdz对比可见

代入微分型的全微分条件：

可见

(6)

显然不满足全微分的条件。因此δQ不是全微分，不能写成dQ。

类似地将气体作的功表达为

δW=pdv=0+0dp+pdv

(7)

也可以证明δW不是全微分，不能写成dW。很明显Q和W不是代表气体状况的变量，而是气体运动和变化过程中出现的物理量。

3 焓和熵的概念

对于完全气体(Perfect Gas)，它服从克拉贝隆方程

pv=kT

(8)

式中：k为气体常数，选用的是气体动力学中最常用的形式。

将热力学第一定律δQ=cdT+pdv两边均除以T，可得

cd(lnT)+kd(lnv)

(9)

(10)

式中：S为熵。

再看

δQ+vdp=cdT+pdv+vdp=cdT+d(pv)

(11)

显然，这是全微分，可定义为

dH=cdT+d(pv)

(12)

式中：H为焓。熵S及焓H表达的是气体的物理性质，和p、v、T一样，是气体的状况参数。

焓的物理意义是气体的内能与压力势能之和，熵的物理意义在热力学第二定律中说明。

4 热力学第二定律

因为微体1失去的热量δQ就是微体2得到的同样热量，得到的热量为正，失去的热量则为负,因此dS>0。若考虑全闭合系统则∑dS>0。因此有限空间的闭合系统中，热传输过程的熵总是增加的。

状况参数的增量由全微分d表达;非状况参数的增量则用δ表达，以示区别。这种数学表达方式与物理意义的对应是数学物理结合的完美范例。

5 结 论

以上从全微分存在的微分条件出发，证明了dH、dS为全微分；δQ、δW为非全微分。可见当气体的微体经过某物理变化的闭合循环时，

(13)

即焓与熵回到原值，与积分过程无关,与物理变化过程无关。而

(14)

即气体微体经过闭合循环过程，将会吸热和放热，将会对外做功或外面对它做功。热和功之增减量依赖于物理变化过程。

至此可以提出一个更为综合的概念：将气体的热力学状况参数p、v、T定义为“热力学空间”。实际上数学理论中的空间概念已经超越了几何空间的概念，有的作者常常不自觉地将“空间”之概念约束在几何范围中。其实自变量x、y、z不一定是几何量，可以是任何的物理量，例如在相对论中所用的自变量是x、y、z、t(四维)即“时空空间”的概念。相应的在气体力学中p、v、T作为自变量来描述热力学的物理量及定律，这就是“热力学空间”的概念。

总之几何空间的概念是3个自变量x、y、z唯一地描述了一点在三维空间的几何位置。热力学空间的概念是3个自变量p、v、T唯一地描述了气体微分体的热力学性质(状况参数)。这样的综合与推广非常自然，完全符合辩证唯物论的认识规律。

6 后 记

笔者于1990年在北京航空航天大学出版社出版了《工程物理中的张量场论》一书，讨论的“场”即是物理量在几何空间中的分布和变化，这和本文中的“空间”概念是完全相通的。因此若能将两者融合起来，更能反应大自然的客观规律。现在已经到了各基本学科综合起来发展的时代，这是值得一提的。

(责任编辑： 蔡斐)

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170512.1549.010.html

*Correspondingauthor.E-mail:qal@buaa.edu.cn

Ontheconceptofthermodynamicspace

ZHANGQi’nan*

SchoolofAeronauticalScienceandEngineering,BeihangUniversity,Beijing100083,China

Inthestudyofpneumatics,itisinevitabletorefertothebasiclawsofthermodynamics.Inthepast,anumberofengineeringauthorsoftenwroteheatQandthemicro-incrementsoftheworkdonebythegasWasdQanddW,whichare,however,notcorrectexpressionsasfarasastrictmathematicaltheoryisconcerned.WhenparticipatingintheeditingoftheAviationAirForceManual,theauthorraisedthisissue.Inthesecondeditionofthemanual,dQanddWwerecorrectedtoδWandδQ.Butsomepneumaticworksstillfailtopayattentiontotheproblem,andarestillusedtousingdQanddW.Inthisarticle,arigorousproofisconductedandtheconceptofthethermodynamicspaceisproposedtoclarifytheconfusioninthepast.

thermodynamicspace;geometricspace;statusparameter;integral-totaldifferentialcondition;differential-totaldifferentialcondition

2016-10-18；Revised2017-04-26；Accepted2017-05-05；Publishedonline2017-05-121549

2016-10-18；退修日期2017-04-26；录用日期2017-05-05； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2017-05-121549

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170512.1549.010.html

.E-mailqal@buaa.edu.cn

张启南. 关于热力学空间概念的探讨J. 航空学报，2017，38(8)：721356.ZHANGQN.OntheconceptofthermodynamicspaceJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):721356.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2016.721356

V211

A

1000-6893(2017)08-721356-03