考虑横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论

许琦， 吴振

沈阳航空航天大学 辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室， 沈阳 110136

考虑横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论

许琦， 吴振*

沈阳航空航天大学 辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室， 沈阳 110136

Reddy型高阶理论已被广泛用于功能梯度材料(FGM)结构分析，然而此理论忽略了横法向应变，难于准确分析功能梯度梁的热力行为。为提高Reddy理论分析热力响应的精度，提出了一种考虑横法向热应变的三参数Reddy型高阶功能梯度梁理论。此模型考虑了横法向热应变，但不增加额外位移变量。应用构建的模型分析了功能梯度梁的热力响应，并研究了不同体积分数对面内应力和位移的影响。数值结果表明,所提出的模型能准确分析功能梯度梁的热力响应，而忽略横法向应变的模型计算结果精度较低。

Reddy型高阶理论； 功能梯度梁； 横法向热应变； 解析解； 热力分析

近年来，功能梯度材料(FGM)受到工程领域的广泛关注。与普通均质复合材料不同，功能梯度材料的组分和结构在空间上连续变化，最大程度降低了应力集中现象。在工程实际中，功能梯度材料常受到机械载荷和热载荷共同作用，温度变化使结构内部产生较大的热应力和变形，甚至导致结构失效[1]。为充分发挥功能梯度结构性能，有必要建立适当的模型对其进行有效的热力分析。

模型发展初期，一阶剪切变形理论被用于分析功能梯度结构的热弹性响应问题[2-3]。然而，一阶剪切变形理论的横向剪切应变沿厚度方向为一常数，需使用剪切修正系数来调整横向剪切刚度，此模型通常适用于薄板分析[4]。为克服一阶理论的不足，各国学者将研究重点转向了高阶剪切变形理论[5-7]。Touratier[8]发展了正弦型高阶剪切变形理论，随后Zenkour和Alghamdi[9]基于此模型分析了四边简支功能梯度板的热力响应。Matsunaga[10]提出一种九阶理论，该理论面内位移沿厚度方向展开九阶多项式，横向位移沿厚度方向展开八阶多项式。应用该理论，Matsunaga分析了功能梯度板的热力响应。通过使用横向剪切应力自由表面条件，Reddy[11]发展了三阶剪切变形理论(Reddy理论)，该理论横向剪切应变沿板厚度方向呈抛物线型分布，不需要使用剪切修正系数。基于此理论，Reddy研究了功能梯度板的静力问题[12]和几何非线性问题[13]。Yang 和Shen[14]基于Reddy理论分析了功能梯度板在热力载荷作用下的非线性行为。Duc和Tung[15]基于Reddy理论研究了热环境中功能梯度板的后屈曲问题。针对于Reddy理论，目前各国学者仍在进行大量研究及应用[16-17]。

Reddy理论模型已经在工程领域得到广泛应用[4]，此理论与一阶理论位移变量个数相同，能够准确高效地解决复合材料层合结构和功能梯度结构的振动、稳定及弯曲等问题。然而，Reddy理论忽略了横法向应变，不能准确分析中厚板的热膨胀问题[18]。为推广Reddy理论在板热膨胀问题上的应用，Wu等[19]提出一种增强型Reddy理论，通过考虑横法向热应变，提高了Reddy理论处理层合/夹层板热膨胀问题的数值精度。与复合材料层合结构不同，功能梯度材料的材料参数为厚度方向函数，特殊的结构导致功能梯度材料热力载荷作用下应力和位移变化规律更为复杂。为探究横法向热应变对功能梯度梁热力响应的影响，本文提出了考虑横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论。基于虚位移原理推导了此模型的平衡方程，并应用Navier方法[11]得到两端简支功能梯度梁的解析解。通过算例评估了本文模型的性能。

1 理论公式

1.1 横向位移

温度场的分布函数表达形式为[9]

(1)

εzT=α(z)ΔT(x,z)

(2)

其中：α(z)为功能梯度梁热膨胀系数。对由温度变化产生的横法向热应变沿厚度方向积分，可得到横向热位移为

(3)

横向位移的最终表达式为

w(x,z)=w0(x)+wT(x,z)

(4)

式中：w0(x)为梁中面横向位移。

1.2 考虑横法向热应变的三参数Reddy型功能梯度梁理论(FGRC)

考虑横法向热应变的三参数Reddy型功能梯度梁理论初始位移场为

(5)

式中：u0为梁中面位移；u1为梁中面法线关于y轴的转角；u2和u3为泰勒展开高阶项，表示横截面位移的高阶形式。

基于线性位移-应变关系，横向剪切应变γxz可表示为

(6)

横向剪切应力τxz为

τxz=D55(z)γxz

(7)

式中：D55(z)=E(z)/2(1+ν)；E(z)和ν分别为功能梯度梁的弹性模量和泊松比。

由横向剪切应力自由表面条件可知

τxz|z=±h/2=0

(8)

式中：h为梁的厚度。将式(6)和式(7)代入式(8)中，整理后代入式(5)即可得到考虑横法向热应变的三参数Reddy型高阶功能梯度梁理论的最终位移场为

(9)

式中：

(10)

1.3 本构方程

基于线性应变-位移关系，本文模型FGRC的应变为

(11)

式(11)表明，横法向热应变已经进入到面内应变项和横向剪切应变项中。功能梯度梁本构方程的表达式为

(12)

式中：弹性模量E(z)和热膨胀系数α(z)为厚度方向的函数。由陶瓷和金属组成的功能梯度梁的弹性模量和热膨胀系数表达式为[9]

(13)

式中：Em、αm和Ec、αc分别为金属和陶瓷的弹性模量和热膨胀系数；k为陶瓷体积分数，它代表材料组分的体积分布规律，当k=0时，退化为各向同性材料。

1.4 平衡方程

δU-δW=0

(14)

式中：δU为虚变形能；δW为外力所做的虚功。具体形式为

(15)

δW=δWPx+δWq+δWTx0+δWTxa

(16)

式中：A为梁的x-y面；δWPx和δWqx分别为作用在功能梯度梁底面和顶面的分布载荷和横向载荷所做的虚功；δWTx0和δWTxa为作用在功能梯度梁上的横向剪切载荷所做的虚功。

根据变分原理推导出考虑横法向热应变的功能梯度梁平衡方程为

(17)

式中：Nx为功能梯度梁横截面上的内力；Mxφ1和Mxφ2为功能梯度梁横截面上的弯矩；Vφ1和Vφ2为功能梯度梁横截面上的扭矩；Px0、Px1和Px2为作

图1 在不同载荷作用下的功能梯度梁Fig.1 Functionally graded beam subjected to different loadings

用在功能梯度梁上的面力；q0为作用在功能梯度梁上的横向载荷。各物理量的具体表达形式为

式中：

1.5 解析解

应用Navier方法[11]求解两端简支功能梯度梁的解析解。其所受外部载荷和温度载荷的表达式为

(18)

(19)

满足边界条件的试函数为

(20)

将式(20)代入到式(17)中，整理系数可得位移参数u01、u11和w01。

产业间分工是世界上最传统的贸易分工形式，它产生于较低的生产力水平和较低分工程度的背景下，理论上主要是用斯密的绝对优势和李嘉图的比较优势原理来解释的，而产业内分工则产生于20世纪70年代，它是随着社会生产力的不断提高、分工程度的进一步深化而出现的贸易分工形式，理论上主要是用规模经济等理论来解释的，是从需求和供给两个方面来考虑贸易产生的源泉。[2]由此可见，这两种贸易分工形式产生于不同的社会背景，在理论解释方面存在着显著差异，但二者依然是在标准贸易理论框架中进行研究的,其研究对象为最终产品，并不考虑产品生产过程发生工序和区段国际分工的可能性。

将参数代入式(9)中可得到面内位移、横向位移及面内应力为

使用三维平衡后处理方法得到横向剪切应力为

Φ3λ3Ti+β(z)f(z)λTi)dzx=0

2 算例与分析

本节主要验证所提模型的精度并基于此模型分析两端简支功能梯度梁的热力响应。图表和图片中字母缩写分别为：Exact—Kapuria计算的精确解[20]；HSDT-98—基于Matsunaga高阶理论[21]的解析解，此模型面内位移展开九阶多项式，横向位移展开八阶多项式，包含19个位移变量；FGRC—基于考虑横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论计算的解析解，包含3个位移变量；FGRD—基于忽略横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论[11]计算的解析解；SPT—基于正弦剪切变形理论计算的解析解[8]；FSDT—基于一阶剪切变形理论计算的解析解[2]。

2.1 夹芯梁热膨胀问题

基于本文模型FGRC分析复合材料夹芯梁热膨胀问题。温度载荷为[21]

ΔT(x,z)=T0sin(πx/a)

材料参数[21]如下所述。

表面层(h/10×2)：EL=E0,ET=0.04E0,GTT=0.02E0，GLT=0.008E0,E0=144.8 GPa,νLT=0.25，αL=0.139×10-6/℃,αT=9×10-6/℃。

面内应力σx与横向剪切应力τxz的无量纲形式为

图2给出了夹芯梁面内应力和横向剪切应力沿厚度方向的分布。

图2 沿夹芯梁厚度方向分布的应力(a/h=5)Fig.2 Stress along thickness direction of sandwich beam (a/h=5)

从图2中可以看出基于模型FGRC计算的面内应力和横向剪切应力与精确解[21]吻合良好，然而由于忽略了横法向热应变，基于模型FGRD计算的结果精度较低。此外，高阶理论HSDT-98能够准确计算温度载荷作用下夹芯梁的应力和位移，但该理论包含19个位移变量，本文所建模型仅包含3个位移变量，故此模型处理夹芯梁热膨胀问题准确高效。高阶理论HSDT-98计算结果与精确解吻合良好，此模型可作为下面研究功能梯度梁热力问题的参考解。

2.2 功能梯度梁热力响应问题

基于本文模型分析由铝和氧化铝构成的功能梯度梁热力响应。材料参数如下[10]所述。

铝：Ea=70 GPa,ν=0.3,αa=23×10-6/℃。

氧化铝：Ean=380 GPa,ν=0.3,αan=7.4×10-6/℃。

位移和应力的无量纲表达式为

为讨论不同载荷作用下功能梯度梁的热力响应，分别给出两端简支功能梯度梁受不同温度载荷和横向载荷时的算例。

1) 温度载荷和横向载荷分别为ΔT(x,z)=T0sin(πx/a)和q=q0sin(πx/a)。

图3为功能梯度梁在热力载荷作用下的位移和应力分布情况(q0=100 N/m,T0=100 ℃)。

图3 热力载荷作用下沿功能梯度梁厚度方向分布的位移和应力(k=2,a/h=4) Fig.3 Displacements and stresses along thickness direction of functional graded beam subjected to thermomechanical loading (k=2,a/h=4)

图4为功能梯度梁在温度场(T0=100 ℃,T1=100 ℃)和横向载荷(q0=100 N/m)作用下面内位移和面内应力的分布。数值结果表明基于模型FGRC的计算结果与模型HSDT-98吻合良好(k=1,a/h=4)。由于忽略了横法向热应变，模型FGRD、SPT和FSDT不能准确计算功能梯度梁热应力和位移。

表1对比功能梯度梁不同体积分数和跨厚比的位移和应力(q0=100N/m,T0=100℃)

Table1Comparisonofdisplacementandstressesinfunctionalgradedbeamsofdifferentvolumefractionsandspan-to-thicknessratios(q0=100N/m,T0=100℃)

Volumefractionka/hModalu(0,-h/2)σx(a/2,-h/2)0.52.55.0HSDT-98-6.5581-0.6482FGRC-6.5786(0.31)-0.4722(17.60)FGRD-5.8476(10.83)-0.9371(44.57)HSDT-98-6.0319-0.8428FGRC-6.0301(0.03)-0.8210(2.59)FGRD-5.8475(3.05)-0.9372(11.20)0.82.55.0HSDT-98-7.6949 0.2182FGRC-7.7345(0.51) 0.2629(20.48)FGRD-6.8479(11.01)-0.3010(237.94)HSDT-98-7.0686-0.1802FGRC-7.0694(0.01)-0.1601(11.15)FGRD-6.8480(3.12)-0.3009(66.98)2.02.55.0HSDT-98-9.4804 1.3730FGRC-9.5934(1.19) 1.4450(5.24)FGRD-8.4849(10.50) 0.7401(46.10)HSDT-98-8.7449 0.9054FGRC-8.7602(0.17) 0.9151(1.07)FGRD-8.4834(2.99) 0.7391(18.36)

Note：The values in bracket are the error ratio of results obtained by different models compared with HSDT-98, %.

图4 沿功能梯度梁厚度方向分布的位移和应力(k=1, a/h=4)Fig.4 Displacements and stresses along thickness direction of functionally graded beam (k=1, a/h=4)

3 结 论

为准确分析功能梯度梁热力行为，本文提出一种考虑横法向应变的Reddy型功能梯度梁理论FGRC。此模型虽然考虑横法向热应变，但不增加额外位移变量。基于Navier方法给出了两端简支功能梯度梁在热力载荷作用下的解析解，通过分析位移和应力可得到如下结论：

1) 由于忽略了横法向热应变，Reddy理论FGRD、正弦剪切变形理论SPT及一阶剪切变形理论FSDT不能够准确分析功能梯度梁的热力响应。

2) 本文所建模型考虑了横法向热应变，并应用横向剪切应力自由表面条件将横法向热应变引入面内应变项(式(11))，提高了预测功能梯度梁热力响应问题的精度。数值结果表明基于本文所建模型FGRC计算的应力和位移与精确解吻合良好，此模型仅包含3个独立的位移变量，故分析功能梯度梁热力响应问题准确高效。

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(责任编辑： 徐晓)

*Correspondingauthor.E-mail:wuzhenhk@163.com

AReddy-typetheoryoffunctionallygradedbeamconsideringtransversenormalthermalstrain

XUQi,WUZhen*

LiaoningProvinceKeyLaboratoryonCompositeStructuralAnalysisandSimulationofAerocraft,ShenyangAerospaceUniversity,Shenyang110136,China

TheReddy-typehigher-ordertheoryhasbeenwidelyusedforanalysisofFunctionallyGradedMaterial(FGM)structures.However,thetheoryneglectstransversenormalstrain,andwillthusencounterdifficultiesinanalysisofthethermomechanicalbehaviorsofthefunctionallygradedbeam.ToimprovetheperformanceofReddy’stheory,aReddy-typehigher-ordertheoryconsideringtransversenormalthermalstrainwiththreedisplacementparametersisproposed.Althoughtransversenormalthermalstrainistakenintoaccount,thenumberofdisplacementparametersisnotincreasedinthetheory.Themodelproposedisusedtoinvestigatethermomechanicalresponseofthefunctionallygradedbeam,andalsotheeffectofvolumefractiononstressanddisplacementoffunctionallygradedbeam.Numericalresultsshowedthattheproposedmodelcancalculateaccuratelythethermomechanicalresponseofthefunctionallygradedbeam,andcanimprovethecalculationaccuracyofthemodelsfortransversenormalthermalstrain.

Reddy-typehigher-ordertheory;functionallygradedbeam;transversenormalthermalstrain;analyticalsolution;thermomechanicalanalysis

2016-11-07;Revised2017-02-16;Accepted2017-03-23;Publishedonline2017-04-120851

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170412.0851.002.html

s：NationalNaturalScienceFoundationofChina(11272217，11402152)

2016-11-07；退修日期2017-02-16；录用日期2017-03-23； < class="emphasis_bold">网络出版时间

时间：2017-04-120851

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20170412.0851.002.html

国家自然科学基金 (11272217，11402152)

.E-mailwuzhenhk@163.com

许琦， 吴振. 考虑横法向热应变的Reddy型功能梯度梁理论J. 航空学报，2017，38(8)：220918.XUQ,WUZ.AReddy-typetheoryoffunctionallygradedbeamconsideringtransversenormalthermalstrainJ.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2017,38(8):220918.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2017.220918

V257

A

1000-6893(2017)08-220918-09