恒定元流伯努利能量方程教学探索

郑坤灿+庞润芳+陈伟鹏+庞赟佶+陈俊俊+武文斐

摘 要： 如何在流体力学教学中避免较多的数学推导，让学生更多地关注原理本身的物理意义和应用是本文要探讨的问题。根据能量守恒思想直接得到伯努利能量方程，即元流中流入的机械能等于流出的机械能，而流体机械能正好是动能、位能和压能之和。与两种传统教学方法的对比中看出，该方法避开了传统功能原理应用过程的繁琐推导，同时也绕过了学生直接接触更困难的N-S方程这一障碍。从而使之易懂易学，并为流体力学教学改革和教材更新提供了更好的思路和方法。

关键词： 流体力学； 能量守恒； 伯努利能量方程； 教学改革

中图分类号：G642.0；0351.2 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2017）11-90-02

Reform on teaching of Bernoulli energy equation of one-dimensional flow

Zheng Kuncan1， Pang Runfang2， Chen Weipeng1， Pang Yunji1， Chen Junjun1， Wu Wenfei1

（1. Energy and Environment School， Inner Mongolia University of Science and Technology， Baotou， Inner Mongolia 014010， China；

2. Engineering Training Center， Inner Mongolia University of Science and Technology）

Abstract： How to avoid more mathematical deduction in the teaching of fluid mechanics， to make students pay more attention to the physical meaning and application of the principle itself is the problem to be discussed in this paper. According to the idea of conservation of energy， the Bernoulli energy equation is directly obtained， that is， the inflow mechanical energy is equal to the outflow mechanical energy， and the fluid mechanical energy is just the sum of kinetic energy， potential energy and pressure energy. Compared with the two traditional teaching methods， this method avoids the tedious derivation， and also bypasses the obstacle of students' direct contact with the more difficult N-S equation. So that， it is easy to understand and easy to learn， and provides better ideas and methods for the teaching reform of fluid mechanics and the renewal of teaching materials.

Key words： fluid dynamics； energy conservation； Bernoulli energy equation； teaching reform

0 引言

眾所周知，高等数学是流体力学中重要的工具和研究手段。然而，在实际教学过程中则不然，数学却成了拦路虎。人民网曾经报道，霍金当年准备出版《时间简史》的时候，被出版商告知：每多一个数学公式便少去一半读者。英国布里斯托尔大学研究人员在新一期美国《国家科学院学报》上报告说，统计生物学家对同行论文的引用结果发现，文章正文中平均每页每多一个数学公式，论文被引用的次数就会下降28%。

同样的情形出现在教学过程中，枯燥乏味的数学推导更容易让读者和听众望而止步，伯努利能量方程就是这样一个典型案例。该方程是工程流体力学中最重要的方程，应用非常广泛，但由于其推导过程繁琐导致许多学生望而生畏，避而远之[1-3]。这就妨碍了学生们对方程重要物理意义的理解及对科学原理的简洁与美的赏析，所以本文另辟奇径避开数学推导直接利用能量守恒思想得到伯努利能量方程。

1 恒定元流伯努利能量方程自然得到

取一元恒定流动的理想不可压流体如图1。流体从左侧dA1流入，从右侧dA2流出。流动过程温度不变即内能不变。压力为p，速度为u，密度为ρ，z0为基准面，z1和z2为进出口距参考面高度。书本上能量方程利用功能原理给出，这里为简便起见，利用能量守恒直接得到。

流动过程涉及的主要能量包括：

⑴ 流入流出的动能即，m为质量流量；

⑵ 流入流出的势能即mgz，z为距参考面的高度；

⑶ 推动功，由于压力具有推动流体做功趋势的能力叫推动功，属于压力势能，简称压能。压能计算式为pV，V为压力作用的体积。

另外，流动过程温度不变无需考虑内能，流体无粘性也不用考虑能量损失，与外界也没有其他功和能的交换，同时恒定流能量变化为0。因此单位时间流入的能量等于单位时间流出的能量，可得恒定一元流能量方程，为：endprint

⑴

因流体不可压故两个断面的流过的质量和体积相等，所以式⑴两边同除以体积则得单位体积的能量守恒方程（压强形式）：

⑵

其中：p-静压，ρgz-为位置压，为动压。

如果式⑴两边同除以mg，且把容重γ（=ρɡ）代入则得单位重量即水头形式的能量守恒方程：

⑶

其中：-压强水头，z-位置水头，-动能水头。

当流体具有粘性时，流动过程由于粘性会发生能量损失，所以上述方程中应该在右边加入对应的能量损失项，比如方程⑴中加入能量损失E1-2，J；在方程⑵中加入压能损失项p1-2，Pa或者N/m2；在方程⑶中加入水头损失项h1-2，m。

2 元流伯努利能量方程三种常用获得方法的比较

目前绝大多数工科教科书中伯努利能量方程是根据功能原理得到，思路为选取一元流控制体，分析受力，计算移动过程合外力做功，计算移动前后机械能的增加，最后得到方程。显然该方法涉及数学公式多且推导甚繁。

另外一种方法为许多理科教材所采用，即先推导得到N-S方程，然后再根据定常、一元和正压流体等条件简化微分方程，最后经过积分得到伯努利能量方程。这种方法适于研究生教学，对一般院校的本科生不宜采用。

本文中方法沒有用到太多的数学公式，也没有用到任何微积分知识和力学理论，只是能量守恒思想的应用，简洁明了，易学易懂，所以建议以后大学流体力学教材和教学过程教师们采用该方法。学生可以在理解方程懂得应用明白其重要意义后去体会数学的奥妙与乐趣。

3 总结

数学作为理工科的一门重要的工具课程，有时在学习和教学过程却成了许多别的课程理解和应用的障碍。流体力学伯努利能量方程就可以避开功能原理或者N-S方程繁杂的数学推导，而直接由能量守恒思想得到。这样能使许多基础较差的学生摆脱数学推导之苦，从而进入更为重要的物理理解和工程应用。当然数学训练也是必须，可以让学生在理解了方程的意义和应用后，再回过去体会数学推导的乐趣。

参考文献（References）：

[1] E. John Finnemore， Joseph B. Franzini.流体力学及其工程

应用[M].机械工业出版社，2013.

[2] 蔡增基，龙天渝.流体力学泵与风机（第五版）[M].中国建筑工

业出版社，2009.

[3] 屠大燕.流体力学与流体机械[M].中国建筑工业出版社，

1999.

[4] 周光炯.流体力学[M].北京高等教育出版社，2000.

[5] 吴望一.流体力学（上）[M].北京大学出版社，1983.

[6] 张兆顺，崔桂香.流体力学（第3版）[M].清华大学出版社，

2015.endprint