不同参考系下的运动的合成与分解问题探析

方洪+金灿

摘 要：求解运动的合成与分解问题时，同一运动在不同的参考系下，观测到的合运动和分运动可能是不同的，以“小船渡河问题”和“割刀切割玻璃问题”为例，探讨运动的合成与分解时应注意的问题。

关键词：合运动；分运动；小船渡河；割玻璃；参考系

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2017）10-0036-3

1 问题的提出

小船渡河问题是进行“运动的合成与分解”一课教学活动时的常用典型例题，教学中经常借助小船渡河问题来帮助学生建立合运动和分运动的概念，掌握并应用平行四边形定则进行运动的合成与分解。在学生解决例1所示的小船渡河的一系列极值问题后，学生对运动的合成与分解的概念、方法都有了一定程度的理解，课堂上再给出例2所示的刀割玻璃问题，要求画出其运动的合成或分解示意图，以图进一步强化概念的形成、方法的运用和能力的培养，例题如下：

例1 河宽60 m，水流方向向右，水流速度大小为3 m/s，小船在静水中的速度大小为6 m/s，要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？（其他问题略）

例2 玻璃生产线上，宽9 m的成型玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向右前行，在切割工序处，金刚石刀的走刀速度是10 m/s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚石的切割轨道与玻璃板运动方向成多大角度？

多次教学反馈的结果令人出乎意料，很多学生在处理例2时，受到例1的影响，出现了很高的错误率。以其中一个班为例，52份样本中仅有21%的学生给出了正确的结果，56%的学生给出了如图1所示的错误答案，包括发表在《湖南中学物理》2009年第5期的《生活中运动的合成与分解问题》一文也出现了上述错误。

为何小船渡河问题对刀割玻璃问题会产生误导作用？小船渡河问题和刀割玻璃问题究竟有何区别？

2 问题的分析与讨论

2.1 探究一 如何区分合运动与分运动？

在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题。教材对合运动的定义是物体的实际运动，分运动是组成合运动的两个或者几个运动。判断合运动最有效的方法就是将看见的运动视为合运动，在应用平行四边形法则求解实际问题时，合运动应位于平行四边形的对角线上。[1]

例1中，船的合运动即为站在地面上的人观察到的垂直于河岸方向上的实际运动v，它参与的两个分运动分别是随水流一起的运动v和船在静水中的运动v，如图2所示。另一方面，由相对速度公式可知，绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和，通常把船相对于岸的速度叫做船的“绝对速度”，把船相对于水的速度叫做船的“相对速度”，而水相对于地面的速度叫做“牵连速度”，与图2所描述的结果完全吻合。

例2中，割刀垂直切割玻璃板的运动仅仅是割刀的一个分运动v，另一个分运动是相对玻璃板静止一起向右的运动v，它们的合运动v是相对地面斜向右上的实际运动，矢量表述为，如图3所示。

可见，在分析运动的合成与分解问题时，将看见的运动作为合运动的判断依据是行之有效的方法。合运动一旦确定，即可根据运动效果进一步确定物体的各个分运动，而利用相对速度公式来检验运动的合成与分解示意图的正确性是比较方便和有效的。

2.2 探究二 合运动与参考系的选取有关吗？

合运动与分运动是同一物体在同一时间内相对同一参考系的运动，合运动是物体相对选定参考系位置的变化，不同参考系下观察同一运动，看到的运动可能是不同的，故合运动会因所选参考系的不同而有所不同，只有选定了参考系才能准确描述合运动。

例1中，以水流为参考系，假想观测者随水流相对静止一起运动，人看到的船的运动应为船相对水的运动v，两分运动为沿垂直河岸方向上的船的垂直渡河速度v，以及沿河岸方向上船和地面一起相對于水向上游的速度v，如图4所示，矢量表述为，与图4所示结果一致。

对比发现，小船垂直渡河是地面参考系的观察结果，在地面参考系中是合运动，在水流参考系下，合运动是斜向上游的运动v。割刀垂直切割玻璃是以玻璃参考系下的观察结果，是玻璃参考系下的合运动，在地面参考系下，仅仅是割刀垂直于玻璃运动方向上的一个分运动。因此，在解决例2的过程中，学生套用小船渡河的运动的合成与分解图来求解刀割玻璃问题，错误原因是学生没有明确题面上描述运动所使用的参考系，导致合运动与分运动的判断上出现失误。归根结底，依旧是学生对合运动和分运动概念理解得还不够透彻造成的。

3 学以致用，利用变换参考系求解运动的合成与分解问题

例3 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图6所示。当杆与半圆柱体的接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，竖直杆运动的速度为（ ）

A.vcotθ B.vtanθ

C.vcosθ D.vsinθ

解析 在地面参考系下，杆上P点的实际运动为竖直向上的运动。可分解为两分运动，一个是P点随圆柱体一起向右的分运动，另一个是P点沿圆柱体表面向上的分运动的合运动，如图7（a）所示，这两个分运动的分析和理解是具有较大难度的。若以球体为参考系，静止在球体上的人看到P点的实际运动是P点紧贴圆面沿着圆面切线向上的运动v，应将其作为合速度，它在水平方向的分运动为P点随地面一起相对圆柱向左的运动v，竖直方向上的分运动是杆沿孔洞相对地面向上的运动v，如图7（b）所示，由图7可得v1=v·tanθ，故B正确。可以发现，选择适当的参考系，可能会有效地降低判定合运动和分运动的难度，从而利于问题的求解。

4 结束语

研究运动的合成与分解时，应选取适当的参考系，明确在该参考系下观测到的研究对象的实际运动，确立其合运动地位，按运动效果分析实际运动的各分运动，依据平行四边形定则画出运动的合成或分解的示意图，从而确认各速度间的相互关系。

参考文献：

[1]马永红.生活中运动的合成与分解问题[J].湖南中学物理，2009（5）：74-76.

（栏目编辑 罗琬华）endprint