一道常规试题的变式解析

杨冠群

[例题]如图（1）所示，宽为L的光滑平行导轨竖直放置，匀强磁场垂直于轨道平面向里，磁感应强度为B，将一质量为m，电阻为R的导体棒垂直于导轨由静止释放，求电路中的最大电功率（不计导轨电阻，且导轨足够长）.

解析：棒向下运动时，产生感应电流，棒受的安培力向上，随着速度变大，电路中感应电流变大，安培力变大，当安培力等于重力时，棒做匀速运动，电路中电流保持恒定，且达到最大值，此时电路中的电功率最大.由mg=F安=BIL和P=I2R解得

.

变式1：在导轨上接一电源，如图（2）所示，电源的电动势为ε，内阻不计，求棒下落能达到的最大速度.

解析：开始时由于电源提供电流，棒受的安培力竖直向下.棒做加速运动，棒产生的感应电动势的正极在右端，由于感应电动势小于电源电动势，棒中电流向左.随着棒的加速，棒中的感应电动势变大，当感应电动势等于电源的电动势时，两个电动势抵消，电路中电流为零，棒只受重力，棒继续加速，棒中电流反向，棒受的安培力变为竖直向上.当安培力等于重力时，棒开始做匀速运动，棒的速度达到最大.由e=BLv

mg=F安 =BIL解得

变式2：在导轨上接一电容为C的电容器，如图（3）所示，将棒从距离导轨下端h处由静止释放，求棒脱离轨道时的速度的大小.

解析：设某时刻t0棒的速度为v1，经过一个极短的时间t棒的速度变为v2，则电容器两极电势差变化为ΔU=BLv2-BLv1，设电容器极板上的电量变化为ΔQ由

得ΔQ=CΔU，电路中电流

因t极短，故可认为t0时刻的加速度为

电流为I=CBLa由牛顿定律得mg-BIL=ma解得

由运动学公式v2=2ah解得棒脱离轨道时的速度为

变式3：将图（3）装置放在水平面上，如图（4）所示，给棒向右的初速度v0，求棒稳定运动时的速度.

解析：开始时棒两端电势差大于电容器两极电势差，棒给电容器充电，当电容器两极板电势差与棒两端电势差相等时，电路中的电流消失，棒开始做匀速运动.设棒匀速运动的速度为v，此时电容器带电量为Q，棒由开始运动到开始匀速运动的时间为t，此过程电路中产生的电流的平均值为I，则

，由动量定理得BILt=mv0-mv1又Q=It解得

.

变式4：将轨道放在水平面上，如图（5）所示，已知每根导轨单位长度的电阻恒定，不计棒的电阻和连接两导轨的导线PQ的电阻，则为了使棒向右做匀加速运动，对棒需施加一个水平向右的外力F，关于F的大小（ ）

A.保持不变 B.一直变大 C.一直变小 D.先变大后变小

解析：设棒的加速度为a，每根轨道单位长度的电阻为r，棒运动t秒时的速度为v，电路中的电流为I，棒产生的位移為s，则v=at

F安 =BIL F-F安 =ma整理得

，由于m、a、B、L、r恒定，故F越来越小.答案：C

点评：上述问题的共同点是涉及棒受力的动态分析，此类问题分析的关键是抓住安培力的变化规律.分析思路为：速度→电动势→电流→安培力→合力→加速度→速度.在分析电动势时应该弄清电路中电源的个数，注意多个电源的连接方式.endprint