多角度构造函数

侯禹　　郑莹莹

[摘 要] 構造法在中学数学学习中，对学生的能力要求很高，但它能另辟蹊径，绕过一些思维的定式. 通过不同的角度对函数结构进行构造，可以使得学生加深对函数的理解，并且利用函数构造的方法解题，也是数学中一种常用的方法. 通过不断地变换形式，对函数的性质有更广泛的认识.

[关键词] 函数结构；多角度构造；结构认识

例：设0

解法一：由题g（x1）-g（x2）=（1-b）·（x1-x2）+ （x -x ）+ln .

因为g′（x）= ，

所以g′（x）=0时，x1+x2=b-1，x1x2=1，

所以g（x1）-g（x2）=（x1+x2）（x2-x1）+ （x -x ）+ln =ln - =ln - - .？摇

设t= ∈（0，1）且 =（b-1）2≥ ，所以t+ ≥ ，0

令h（t）=lnt- t- ，t∈0， ，h′（t）= <0，所以函数y=h（t）单调递减，所以h（t）≥h = -2ln2.

上述解法显然对学生能力的要求比较高，是将x1，x2的整体结构视为一个自变量，其中还有一些代换，如“1”的代换达到升次目的，从而才能配凑出想要的整体结构. 另外韦达定理将常数换为和，同样是要达到升次换元目的.

解法二：由法一知

g（x1）-g（x2）=ln + （x1-x2）=ln + （x1+x2）（x2-x1）=2lnx1+ -x .？摇 令m（x）=2lnx+ -x2，m′（x）= - -x= = <0，而x1+x2=b-1=x1+ ≥ ，0

解法二的想法比较直白，就是想办法消掉x2与b，这样处理起来方向比较清楚，当然这里在消元处理的时候还是要结合韦达定理，这也是极值点满足的信息要充分利用起来.

解法三：由x1，x2是方程x2+（1-b）x+1=0的两个根，所以x1= ，x2= ，令b2-2b-3=Δ，将上式代入到g（x1）-g（x2）中得到

g（x1）-g（x2）= +ln = +ln = +ln .

令（b-1） =t≥ ，则f（t）=g（x1）-g（x2）= +ln - ，所以f′（t）= - >0，所以函数y=f（t）在t∈ ，+∞上递增.

所以函数y=f（x）在t∈ ，+∞上的最小值为f = -2ln2.

这个解法应该是很多学生能够想到，但是不敢下笔的，就是老老实实地求根，统一成字母b的函数求最值. 实际上我们操作起来发现并不是很困难，就是将比较复杂的式子整体换元使函数解析式变简单，再求导求最值.

解法四：因为g′（x）=x+ -b+1，当g′（x）=0时，则x+ =b-1≥ .

因为g′（x）=x+ -b+1的参数只在常数里面，说明原函数走势不变.

所以当x2-x1越小，则g（x1）-g（x2）越小，所以b-1= 时，x2=2，x1= ，

所以所求最小值为g -g（2）= -2ln2.