海伦公式的证明及两个推论

张浩

[摘 要] 高中数学教师在教学中容易轻视教材，把资料书作为教学的核心素材，这种做法明显欠妥. 笔者运用教材中“海伦和秦九昭”的阅读内容，激发学生的探知欲望，提高学生数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.

[关键词] 海伦公式；秦九昭公式；三角形面积

笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版，在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读与思考内容. 既然是阅读与思考，往往未受到教师和学生的重视. 但是，此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料，甚至也可以丰富学生解题思路和技巧.

海伦—秦九昭公式

在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到公式S= ，其中p= （a+b+c）. 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式. 其实，我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”，秦九韶的算法相当于：S= ，其中a≥b≥c. 它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者是完全等价的，实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”.

海伦公式的证明

笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容，并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种.

方法1：△ABC的三边长分别为a，b，c，则有三角形的面积公式可得S= absinC= ab ，再由余弦定理可得S= ab

化简得S= ，令p= （a+b+c），于是有

S= ，海伦公式得证.

方法2：如图1，△ABC的三边长分别为a，b，c，AD为边BC的高. 又因为BD=ccosB= ，所以，AD2=AB2-BD2=c2- .

由于S= ·BC·AD= a· = ，

可由平方差公式化简可得S= · ，令p= （a+b+c），于是有S= ，海伦公式得证.

点评：学生以上的两种种证明方法思路简单，利用所学求三角形面积的基本知识，以及余弦定理，将角度转化为边长，这样可以使得最后推证的公式中无角度，只存在边长，化简过程較复杂，需要学生细致、耐心的计算，有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力.

第二种证明方法需要说明：图1中的高AD在三角形的内部，根据三角形知识可知，若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高，则此时高AD则会在三角形的外部（如图2），那么此时BD=ccos（π-B）= ，也可推证出海伦公式. 也可理解为：即使△ABC为非锐角三角形，过最大内角作对边的高，那么此时高一定在三角形内部，按照此种证明方法海伦公式也可得证.

海伦公式的两个推论

推论1：已知三角形的三边长为a，b，c，设p= （a+b+c），可得三角形的内切圆半径r= .

证明：如图3，圆O为△ABC的内切圆，内切圆半径为r，则有

S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC= cr+ ar+ br.

由海伦公式可得S△ABC= = （a+b+c）r=pr，证得

r= .

推论2：设边AB，BC，CA上的高分别记为hc，ha，hb，可得

ha= ，hb= · ，

hc= .

证明：因为S△ABC= ah = ，可证得

ha= ，同理可证推论2成立.