一道课本习题改编的一组高考题

李瑞杰

[摘 要] 高考卷向来重视对教材例题、习题的挖掘、引申和改造，体现“深入教材，又高于教材”，做到重基础、考能力. 教师要引导学生抓纲靠本，强调变式，培养思维的灵活性和创造性.

[关键词] 高考；课本；改造

高考全国卷向来重视对教材例题、习题的挖掘、引申和改造，体现“深入教材，又高于教材”，做到重基础，考能力.下面以人教版选修2-1P49第7题为例，看看高考题是如何由习题改造的.

P49习题2.2如图1，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

解答：连接QA，因为线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，

所以PQ=AQ，OQ+PQ=OQ+AQ=r（r>OA）.

根据椭圆定义，点Q的轨迹是椭圆，它的焦点为O，A.

引申1：对题目中的“线段AP垂直平分线l和半径OP相交于Q”改成直线l过点B（1，0）且与X轴不重合，交圆A于C，D，过B作AC的平行线交AD于E”，就得到某地高考第20题第1问：

设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程.

分析：本题的关键是作图；因为△ADC是等腰三角形∠ACD=∠ADC，又因为EB∥AC，所以∠EBD=∠ACD，EB=ED，所以EA+EB=r.

解答：圆A整理为（x+1）2+y2=16，A坐标为（-1，0），如图2，因为BE∥AC，AC=AD，则∠D=∠C，∠C=∠EBD，

所以∠EBD=∠D，则EB=ED，EA+EB=4﹥2滿足椭圆定义，

？摇所以E的轨迹为一个椭圆，方程为 + =1（y≠0）.

点评：本题把习题中利用垂直平分线性质改为利用等腰三角形和平行线的性质，突出了对基础知识的考查.

引申2：对习题中“线段AP垂直平分线l和半径OP相交于点Q，改成圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P和圆M外切并且与圆N内切，求圆心P的轨迹，就得到某地高考第20题第1问：

圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C，求C的方程.

分析：由两圆外切、内切得到PM=r+1，PN=3-r，所以PM+PN=4﹥2，关键是画图，联想两圆外切、内切的连心线.

解答：如图3，连PM，PN，则PM=r+1，PN=3-r，所以PM+PN=4﹥2，满足椭圆定义，所以圆心P的轨迹是椭圆，C的方程为 + =1.

点评：本题把习题中利用垂直平分线性质改为利用两圆外切、内切的连心线性质，突出地考查了思维的灵活性.

引申3：对习题中“线段AP垂直平分线l和半径OP相交于点Q”，改成点G在MP上，且满足 =2 ， · =0，得到某地高考第20题第1问.

已知圆M：（x+ ）2+y2=36，定点N（ ，0），点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足 =2 ， · =0，求点G的轨迹方程.

分析： =2 ，说明Q点是NP中点，又 · =0，说明GQ与NP垂直，所以GQ 是NP的垂直平分线，回到习题第7题的条件了.

解答：（1）因为 =2 ，所以N为NP的中点. 又因为 · =0，所以GQ为PN的中垂线，所以GP=GN，所以PG+GM=GM+GN=2a=6>2 ， 满足椭圆定义，所以方程为 + =1.

点评：加入向量共线和垂直内容后，加深题目难度，体现了解几与向量的交汇，突出对能力的要求.

？摇？摇从上面改编的几道高考题可以看出，高考题很多是课本习题的延伸，因此无论是新课教学，还是高考复习，教师要引导学生抓纲靠本，对课本中一些典型例题、习题要讲透思想方法，重视解题过程，强调变式训练和题组训练，培养学生思维的灵活性和创造性.