一题多变，看函数y=Asin（ωx+φ）图像

郑荣坤

[摘 要] 对一道函数y=Asin（ωx+φ）图像题多变、错解、多解的研究，帮助学生识函数y=Asin（ωx+φ）图像，理解数y=Asin（ωx+φ）图像变换、应用.

[关键词] 函数图像；图像变换；图像应用

函数y=Asin（ωx+φ）图像是高中数学《三角函数》的高频考点，多以选择、填空题的形式出现于历年各地考卷中. 因此，高三数学教师要重视“函数y=Asin（ωx+φ）图像”的教学，力争让学生熟悉掌握函数y=Asin（ωx+φ）图像，图像变换、应用.

典例：看函数y=Asin（ωx+φ）图像

典例：已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ？摇< 在一个周期内的图像如图1所示，求y=f（x）的解析式.

图1

考点分析：由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图像，确定函数解析式.

危险解法：由图像容易看出，振幅A=2，周期T= -- =4π，ω= = ，由于ω>0，所以角速度ω= .

将 ，0代入函数解析式，得 × +φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ- （k∈Z）.

因为φ< ，所以k=1，φ= . 因此，f（x）=2sin + .

危险原因：上面解法看似很严密，危险出在何处？如果把“φ< ”改为“φ<π”，那么φ的值为多少？学生的答案：k=1，φ= 或者k=0，φ=- . 实际上，把“φ< ”改为“φ<π”答案不变，仍为φ= ，而同学们使用上述解法就产生了增根，所以才说上述解法是“危险解法”，给定的φ取值范围变大，根的个数就增多.

解法1（代零点求φ）：因为 ，0是函数的递减零点，所以将 ，0代入函数解析式，得 × +φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因为“φ<π”，

所以k=1，φ= .

解法2（代波峰点求φ）：将 ，2代入函数解析式，得 × +φ=2kπ+ （k∈Z），

解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因为φ< ，所以φ= .

解法3（五点法求φ）：将- ，0代函数解析式，由于点- ，0相当于正弦函数“五点法”作图中的第一个关键点，所以 ×- +φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因为“φ<π”，所以k=0，φ= .

评注：振幅A：看函数图像的波峰（或波谷）；角速度（角频率）ω：看函数图像周期；求初相φ既是难点也是易错点，求法两种：“代点法”、“五点法”. “代点法”可以选择代零点，也可以选择代波峰或波谷点，并且代波峰点可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），代波谷点可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），不管代波峰点还是波谷点都比较容易. 但代零点，给定φ的大范围，很容易产生“增根”. 如果要避免产生“增根”，那么务必先判断此零点所在区间的单调性. 代单调递减区间上的零点，可以得到ωx+φ=2kπ+π（k∈Z）；代单调递增区间上的零点，可以得到ωx+φ=2kπ（k∈Z）. 显然，“代零点”比“代波峰或波谷点”麻烦，因此，建议选择代波峰或波谷点求φ，“五点法”也不错.

变式：看函数y=Asin（ωx+φ）图像变换

变式1：要得到函数y=2sin + 的图像，只需将函数y=2sin - 图像的纵坐标不变，横坐标向______单位长度. （ ）

A. 向左平移π

B. 向右平移π

C. 向左平移

D. 向右平移

考点分析：函数f（x）=Asin（ωx+φ）图平移变换.

错误解法：由函数解析式y=2sin + 得y=2sin + =2sin + - ，

所以函数y=2sin - 图像纵坐标不变，横坐标向左平移 单位长度.

错误原因：利用画图工具画出函数图像，从图像就容易看出上面的变换是错误的.

解法1（待定法）：设f（x）=2sin - ，则f（x+α）=2sin （x+α）- ，0≤α<2π. 由 （x+α）- = + ，解得α=π. 因为把函数f（x）图像纵坐标不变，横坐标向左平移π单位长度，就得到函数f（x+π）的图像，故本题正确选项为A.

解法2（配凑法）：设f（x）=2sin - ，由于2sin + =2sin + - =2sin （x+π）- =f（x+π）. 因为把函数f（x）图像纵坐标不变，横坐标向左平移π单位长度，就得到函数f（x+π）的图像，故本题正确选项为A.

解法3（平移波峰点法）：因为原点附近的波峰点平移情况，与函数整体图像的平移情况一致.所以，对于函数y=2sin - ，令 - = ，解得x= ，波峰点A坐标为 ，2；对于函数y=2sin + ，令 + = ，解得x= . 波峰点B坐标为 ，2. 观察两个函数在原点附近的两波峰点平移情况，由于从点A ，2平移到点B ，2：纵坐标不变，横坐标向左平移π单位长度. 故本題正确选项为A.

解法4（排除法）：函数图像的变换方向：y=2sin - ？圯y=2sin（ + . 观察两个函数解析式，不难发现： - ？圯 + ，向左平移（“负变正”即“小变大”），故排除选项B、D. 再观观察两个函数解析式，不难发现：从- 到 ，平移 单位长度；而 - 与 + 中x系数都为 ，所以平移π单位长度，排除C. 故本题的正确选项为A.

思考1：（1）函数y=2sin + 的图像如何变换，使得函数图像关于原点对称？

（2）函数y=2sin + 的图像如何变换，使得函数图像关于y轴对称？

评注：不管是“待定法”还是“配凑法”，实质上都是研究f（x）与f（x±α）函数解析式的关系.设变换前函数为y=f（x），变换后函数为y=f（x±α）.使用“待定法”或“配凑法”，求函数f（x±α）中α的值.就y=f（x+α）而言，若α>0，则向左平移α单位长度；若α<0，则向右平移α单位长度，而秒杀“函数图像左右平移变换”选择题的方法有：“平移波峰点法”、“排除法”.不管采用哪种方法，“函数图像左右平移变换”要特别注意函数解析式中x的系数.采用“待定法”、“配凑法”、“平移波峰点法”都可以快速求解思考1，参考答案为：（1）纵坐标不变，横坐标向左平移 或向右平移 单位长度；（2）纵坐标不变，横坐标向左平移 或向右平移 单位长度.

变式2：已知函数f（x）=2sin + ，则下列说法正确的是

（ ）

A. f（x）的周期为4π

B. f（x）图像的对称轴为x=2kπ+ ，k∈Z

C. f（x）图像的对称中心为2kπ- ，0，k∈Z？摇

D. f（x）在区间 ， 上单调递增

考点分析：函数f（x）=Asin（ωx+φ）图像翻折变换，求三角函数的周期、对称、单调.

解法：画出函数y=2sin + 图像，在x轴上方的不变，在x轴下方的部分（沿x轴）翻折到上方，就得到函数f（x）=2sin + 图像. 观察图像容易得出：周期为2π，对称轴为x=kπ+ ，k∈Z，没有对称中心，在区间 ， 上单调递增.

故本题的正确答案为D.

思考2：已知函数f（x）=2sin + ，则f（x）是否为周期函数，有没有对称轴、对称中心，f（x）还在区间 ， 上单调递增吗？

评注：求解三角函数的周期、对称、单调等： 利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函数图像”进行数形结合求解.学生除了熟悉掌握“f（x）=Asin（ωx+φ）”，还要掌握函数图像的翻折和对称变换. 函数f（x）图像：翻折变换；函数f（x）图像：对称变换.三角函数的周期、对称、单调等问题，常常利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函数图像”进行数形结合求解. 上述选择题就可以利用“排除法”求解，同学们自己试试. 利用对称变换不难得到思考2的图像，利用数形结合就可以求出思考2，参考答案为：f（x）不是周期函数，没有对称中心，对称轴为y轴，在区间 ， 上单调递增.

变式：看函数y=Asin（ωx+φ）图像应用

变式3：已知f（x）= ，则f（x）的定义域为__________.

考点分析：由解三角不等式，求函数定义域.

解法：由2sin x+ -1≥0，解得sin x+ ≥ .

则2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得4kπ- ≤x≤4kπ+ ，k∈Z.

故f（x）的定义域为4kπ- ，4kπ+ ，k∈Z.

评注：求解“形如f（x）=Asin（ωx+φ）”函数定义，常为求解三角不等式.只要学生借助函数y=Asin（ωx+φ）图像，便可以快速解决.上述求解“sin x+ ≥ ”，还可以利用正弦线.

变式4： sin +cos ≥2a-1在区间[0，2π]上恒成立，则a的取值范围为________.

考点分析：由解三角最值，求参数取值范围.

解法：由于 sin +cos =2sin + ，令f（x）=2sin + ，

sin +cos ≥2a-1在区间[0，2π]上恒成立，只需f（x）min≥2a-1，x∈[0，2π].

由函数f（x）图像，解得f（x）min=- （x∈[0，2π]），则- ≥2a-1，解得a≤ .

故a的取值范围为-∞， .

评注：三角不等式恒成立，求参数取值范围的问题，常通过分离参数，转化为求三角函数最值的问题，只要熟悉掌握三角函数图像画法，问题就简单了. 而上述题目中，也可以令θ= + ，画出y=2sinθ在区间[0，2π]上图像，从而求解函数的最值.

变式5：设常数a使方程cos2 -sin2 -cos = a在区间[0，4π]上恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=__________.

考点分析：运用三角公式进行化简，求解三角函数的零点.

解法：因为cos2 -sin2 -cos =cos -cos1008π+ + =cos +sin = sin + ，所以 sin + = a，即2sin + =a.

求方程cos2 -sin2 -cos = a在区间[0，4π]上恰有三个不同的实数解x1，x2，x3，只需求函数y=2sin + 图像与直线y=a在区间[0，4π]上恰有三个交点横坐标x1，x2，x3. 由图像易知， = ，x3=4π.

故x1+x2+x3=5π.

评注：初看题目很复杂，但仔细观察，容易看出，利用三角公式（二倍角公式、诱导公式）化简方程左边为2sin + =a，由函数f（x）=Asin（ωx+φ）图像数形结合求解. 可见，求解三角函数的零点：利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）图像.

变式6：已知ω>0，函数f（x）=2sinωx+ 在区间 ，π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）

A. ， ？摇？摇？摇？摇 B. ，

C. 0， ？摇？摇？摇 D. （0，2]

考点分析：求解“形为f（x）=Asin（ωx+φ）的含参函数”的单调问题.

解法1（利用三角图像变换求解）：将得到函数f（x）=2sinωx+ 的图像，只需把函数y=2sinx+ 图像的纵坐标不变、横坐标缩短为原来的 （ω>0）. 而函数y=2sinx+ 在区间2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）上单调递减，则y=2sinωx+ .

在 2kπ+ ？摇， 2kπ+ ？摇（k∈Z）上单调递减. 因为y=2sinωx+ 在区间 ，π上单调递减，所以 ，π为 2kπ+ ？摇， 2kπ+ （k∈Z）的子集，并且π- ≤ = （ω>0）？圯0<ω≤2，则

2kπ+ ≤ ， 2kπ+ ≥π，0<ω≤2，

解得4k+ ≤ω≤2k+ （k∈Z），0<ω≤2， 则k=0， ≤ω≤ . 因此，ω的取值范围是 ， .

解法2（利用三角单调性求解）：令2kπ+ <ωx+ <2kπ+ ，k∈Z，

则 2kπ+

由于π- ≤ = （ω>0）？圯0<ω≤2，则k=0， ≤ω≤ .

故ω的取值范围是 ， .

解法3（特殊值排除法）：分析各选项容易发现，只有D选项中2∈（0，2]. 取ω=2，此时f（x）=2sin2x+ ，不难得到f（x）在区间 ，π上非单调递减，故排除D选项；分析A、B、C各选项容易发现，只有A选项中1∈ ， ，取ω=1，此时f（x）=2sinx+ ，不难得到f（x）在区间 ，π上单调递减，排除B、C选项. 故本题的正确选项为A.

思考3：已知ω>0，函数f（x）=2sinωx+ 在区间 ，π上单调递增，则ω的取值范围是________.

评注：变式6是三角函数的综合题目，大部分学生都不会做.实际上，求解方法有3种：

利用三角图像的平移伸缩变换求解、利用三角函数的单调性求解、利用“特值排除法”求解.第一种方法是先求函数y=2sinx+ 单调区间，由函数图像平移伸缩变换，求出函数f（x）=2sinωx+ 单调区间，再根据 ，π为其子集列求解；第二种方法是把ωx+ 看成θ，由y=sinθ的单调区间，求y=2sinωx+ 的单调区间，再根据 ，π为其子集列求解. 而两种方法的过程中都出现两个参数ω，k，确定k取值是难点，难点从由π- ≤ 确定ω的取值范围来突破.不管什么难度系数的选择题，特殊值排除法都为非常好的方法. 学生们只要采用第一或第二种方法，就可以解决思考3，参考答案为：0<ω≤ .

综上所述，求解三角函数的周期、对称、单调、定义域、最值、零点等，常利用函数y=Asin（ωx+φ）圖像，故学生必须多看函数y=Asin（ωx+φ）图像. 一题多变犹如望远镜，学生戴上它就能望过“函数y=Asin（ωx+φ）图像变换、应用”的一片知识汪洋.