构建题链 助力教学

赵爽

[摘 要] 为更好地实现课标中提高学生能力和培养核心素养的教学目标，笔者在“任务驱动”教学方法的理论基础上，尝试探索了以连锁型题目链为载体的任务驱动式“题链”教学法. 本文将简析“题链教学”的含义、现实意义、优势和题链设计原则，并以“平面向量三点共线定理”的教学为例，展示题链设计和运用“题链教学”实现教学目标的过程，并分享教学感悟.

[关键词] 题链设计；题链教学；提高能力；构建知识体系；意义；优势

题链教学

1. “题链”和“题链教学”的含义

教师在核心知识的教学过程中，围绕同一个核心理论，有目的、有计划地设计出若干个逻辑关系紧密的题目，通过条件结论、形式内容或理论背景等非本质特征的改变，形成的层层递进、环环相扣，但知识内核相同的题组，称为题链. 通过对题链中每个问题的实践探究，实现课堂的拓展延伸，即推进核心理论知识学习的深度、广度，构建和完善知识体系的教学方法，我们称之为“题链教学”.

2. 题链教学的现实意义

新课程标准要求高中数学教师不断改进、创新教学方法，使得原本局限于教材知识的教学目标，逐渐转变为通过纵向深挖、横向拓展的学生自主探究过程，实现知识网络的建构；同时提高学生举一反三、以不变应万变，站在更高视角提出问题、解决问题的能力，并在逐步推进深入的教学过程中，强化数学思想方法，提高数学学习能力，培养数学研究兴趣. 而题链作为一种逻辑性强、针对性强、学生参与度高、与新课程理念吻合度高的教学方式，将会是实现上述教学目标的一种操作性强、行之有效的教学手段.

以“平面向量基本定理”为例的题链教学

理论基础：定理1：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，则对平面内任意向量a，存在唯一一对实数m，n，使a=me1+ne2，e1，e2为平面的一组基底，简称基.

定理2：平面内不共线向量 ， ， ，满足 =m +n ，则A，B，C共线的充要条件是m+n=1.

1. 题链初始——深入浅出，夯实核心理论知识基础

例1：在△ABC中，点D满足 =3 ， =λ +μ ，則λ=_____，μ=_____.

分析：A，D，C三点共线，故μ=1-λ，即 =λ +（1-λ） ， =λ ，由已知得λ= ， μ= .

题目设计意图：点题之意，以简单实例复习和巩固本节最核心的理论知识——平面向量共线定理，并在旧知基础上启发学生深入思考， 在基底 ， 下系数的具体数值与D点位置之间的特殊关系及其成因，引导学生对更一般的情形进行探究，通过学生间的合作探究形成推论1，是为温“故”知“新”.

推论1：平面内三点A，B，C共线，O为直线外一点，若 = ，则 = + .

例2：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则 +3 的最小值为______.

分析：由推论1知，已知一直线上线段长的比即可得到对应基底下的系数，可否逆用系数确定该点的位置呢？思考后有同学一语道破天机，只要基底下的系数和是1就行. 那么如何使系数和是1呢？学生们若有所思，后跃跃欲试，大胆猜证，终恍然顿悟：M是AB的四等分点（靠近B），最小值转化为点M到直线CD的距离，迎刃而解. 即 +3 min=4 + min？劬4 min=4× =5.

题目设计意图：例2是对推论1的逆用，此处设题，是希望学生更熟悉推论1，同时也使学生对共线定理和推论1的理解更深刻.探究过程中还训练到了基底思想、构造思想和转化思想，为今后数量积的学习和解析几何的学习打下了一定的基础，更是对学生探究能力的培养.

题链设计反思：由例1和恰当的引导，激发学生的研究热情，在课堂内由探究实现了推论1的发现、证明，将理论基础向前推进一步，随之例2的应用更是为了夯实现有的理论基础，以使后续题链教学能够顺利进行.

设计题链时，巧妙的选题和设计能最大限度地发挥题目的作用，即便课堂时间有限，也能给学生留下充足的思考时间和探究机会，提高学生的课堂参与度，自然就能提高探究学习的积极性.

温馨提示：值得注意的是，题链的起始问题至关重要，一定要由浅入深、循序渐进，初始题目一定要“高起低落”，同时兼具可延伸性，给学生以探究的自信和兴趣.

2. 题链推进——梯级渐进，实现理论知识的纵向延伸和横向拓展

例3：四边形OABC是边长为1的正方形，OD=3，P为△BCD内（含边界）的动点，设 =α +β （α，β∈R），则α+β的最大值等于________.

分析：动点问题，不妨固定点P，由特殊来研究一般. 设P是CD上的点，则系数和α+β为1.设Q为OP与CD的交点， =λ ，得α+β=λ= ，由平面几何知在B处取λmax= .

推论2：平面内点O不与A，B共线，定直线l与AB平行，D为直线l上任一点， =m +n ，则当D在l上运动时，系数和m+n为定值，该值只与定直线l的位置有关. 直线l可称为系数等和线.

变式：如图4，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外点D，若 =m +n ，则m+n的取值范围是________.

解析： =λ ，由题λ=m+n∈（-1，0）.

由此，引导学生归纳总结当动点或系数等和线在不同区域时，m+n的取值范围：当l与AB重合时，m+n=1；当l经过点O时，m+n=0；当l在点O和AB之间时，01；当点O在AB和l之间时，m+n<0.

题目设计意图：例3是对核心教学内容的纵向延伸，将推论1静态点的共线性质，迁移到动态点的性质，由共线到类共线的条件变化引发理论延伸的空间，因此具备探究价值. 变式作为例3的补充题目，设计目的是对推论2——系数等和线的完善，以保证知识结构的完整性的和探究学习的有效性，提高学生对新知识的理解深度和实践应用能力.

题链设计反思：在探究过程中，学生探究发现并证明推论2，要经历从特殊到一般的转化，从动态到静态的化归，既实现了知识迁移，又训练了学生的逻辑思维和创新思维，极大地提高了解决问题的能力，也收获了更多成功的体验，为学习研究带来更大的动力和信心.

温馨提示：题链推进的第一环节是深入挖掘理论，理论越深，题目难度自然越大. 为此，在设计过程中，教师要善于把繁杂的教学内容进行分解，化整为零，通过具有层次梯度的题目设计，帮助学生降低探究学习的难度，同时以题“导航”，指引探究方向，使得探究学习的效率更高、效果更好.

例4：已知O在△ABC内，满足 +2 +3 =0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=______.

解析： =- + ？劬- ，由推论1知，点D在线段AB上，AD∶BD=2：1，点C，O，D共线且OC=OD，故S△BOC∶S△AOC=1∶2，S△AOB=S△BOC+S△AOC，即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3.

引导：面积比跟系数比之间1∶2∶3的对应关系可否进行推广，如何推广？

部分学生提出m +n +（m+n） =0，可得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=m∶n∶（m+n）；另有部分学生质疑，如果m +n +p =0呢？这个问题因难度和高考要求等原因不适合在课堂完成，因此留作课外探究任务，分组合作完成，各组汇报结果后总结得到推论3.

推论3：O为△ABC内一点，则m +n +p B=0的充要条件是S△BOC∶S△AOC∶

S△AOB=m∶n∶p.

题目设计意图：例4通过非共线问题的共线化解答及耐人寻味的答案，引发学生对该类问题的探究，设计的目的即是实现对核心教学内容的横向拓展——用共线研究三角形内一类面积比问题，以例4为蓝本进行类比推理和理论推证，最终同样抽象出相应的结论3，在知识网络上“横行”，达到拓宽理论知识、培养思维广度的设计意图.

题链设计反思：本环节的探究过程难度颇大，能力要求较高，学生要在课外默契配合，共同完成，但同样也是达成能力目标的最佳契机. 过程中学生要通过类比推理，进行合情猜想，抽象概括成数学结论，并用数形结合、转化化归等数学思想方法，辅以平面几何知识进行严谨的科学求证，探究过程即是数学学习能力培养和提升的过程.

温馨提示：有效的题链教学不仅要有思维深度，更要有思维广度，因此题链推进的第二环节，即是知识体系的横向拓展，这一环节务必注意拓展问题与核心教学内容的潜在联系；另外，有时知识的拓展延伸因客观条件所限，必须在课外完成，因此需要教师合理的导向和充足的延时等待.为此，教师在设计题目时，要善于把握学生的认知特点、思维特点及高考命题要求，精心设计横向拓展题目和每道题目的探究时机，以保证教学效果和效率双丰收.

3. 题链连锁——综合演练，促进能力提升，构建知识网络

例5：（1）设O是△ABC的外心，AB=1，AC=2， =x + （x∈R），则△ABC的边BC的长度为________.

（2）在△ABC中，I是内心，AC=2，BC=3，AB=4， =x +y ，则x+y=_______.

（3）在扇形AOB中，OA=OB=1，∠AOB= ，C为弧（不含端点）上一点， =x +y ，则x+y的范围是________；若t=x+λy存在最大值，则λ的范围是________.

解析：（1） =x + = +1- （其中F为AC的中点， =4 ），O在EF上，则①当O与F重合时，O为AC的中点，△ABC为直角三角形，BC= = ；②当O不与F重合时，由外心知EF为AC的中垂线，在Rt△AEF中，得cosA= ，△ABC中，得BC=2.

（2）由题得S△BIC∶S△AIC∶S△AIB=3∶2∶4，由推论3得3 +2 +4 =0，即-3 +2（ - ）+4（ - ）=0，故 = + ，则x+y= .

（3）①设OC与弦AB交于点D， =λ ，由推论2知x+y=λ，且λ= ，过弧AB中点M和点C分别作与AB平行的直线l0，l，则当l与AB重合时，λ=1；当l与l0重合即与圆弧相切时，λ= .所以C在弧AB上运动时，1<λ≤ ，即x+y∈1， .

②将已知条件改写成 =x +λy （其中 = ）. 由（1）知，當C处的切线与AP平行时，t=x+λy取到最大值，故欲使tmax存在，只需弧AB存在与AP平行的切线，点P在P1，P2之间时，平行切线存在.又λ= ，所以 <λ< .由∠AOB= 可得 <λ<2.

题目设计意图：例5是对前面所有探究所得理论知识的应用和拔高，是为了提高题链教学效果而精心准备的题目.从学生的认知规律角度来说，在接受新知识时必要的重复和适量的训练是必不可少的，因此本环节在不同的情境下设置问题，题目都有一定的综合性和思辨性，帮助学生更高效地理解、应用所学理论，并将所学的知识方法融会贯通，达到题链连锁，提高学生的能力，同时构建完整的知识体系.

题链设计反思：本环节实际是数学应用属性的体现，也是新课程对数学教学提出的更高要求. 过程中学生需要汇集前面所有的知识并独自梳理，形成知识网络，并能恰当地选择合适的理论和对应的方法解决探究过程中遇到的困难，比如前面反复提到的转化化归思想、构造思想、逆向思维、数形结合等数学思想方法.问题解决的过程也是将知识网络定型、锁定的过程，是知识内化和能力升华，检验教学效果的过程，于教师和学生而言都至关重要.

温馨提示：建构主义告诉我们，学习的过程是原有的认知结构不断同化新知识的过程，在这个过程中，学生要经历“已知区—最近发展区—未知区”的过程，这个过程是不断重复、循序渐进的. 通过前面两个教学环节，将学生认知水平“已知区”的知识不断强化，变成常识，之后在学生认知水平的“最近发展区”设置延伸拓展内容，开展题链教学.而本环节则是将教学推向学生认知“未知区”的过程，是教学的终极目标，教师在备课设计题链时有必要充分了解学生认知的最近发展区和未知区，以使教学过程针对性更强，教学效果更好.endprint

题链教学的感悟

1. 设计题链遵循一定的原则

首先，一定要在学生思维的最近发展区设计梯度分层的题目，保证以学生已有的认知水平和学习能力，通过合作探究可以达到教学目标；其次，要注意题设的目标明确，重点突出，知识多元，用有效的题链设计，促进知识脉络的解构和知识网络的构建，保证延伸拓展的深度、广度；最后，注意难点问题的重现、落实和数学思想方法的渗透，以保证延伸拓展的效度.

2. 题链教学是师生双主体的动态教学过程

教师的主体作用体现在对知识主线、教学目标的设置和探究方向的把握上，并针对学生在实际探究过程中遇到的问题，及时给出反馈和微调，保障探究活动的顺利进行；而学生是探究活动的实施者，用同学之间的合作交流碰撞出智慧的火花，逐步推进探究的深度和广度，得到知识和能力上的双丰收. 在这个过程中，教师要注意探究时机的设定，哪些问题的拓展可以在课堂内部进行，哪些必须给足时间，延时到课堂之外，让学生有更多的机会和时间交流探讨. 学生要注重探究方向和方法的选择，及时梳理题链中各个题目之间的表面联系和本质联系，多尝试总结概括，将题目的理论价值挖掘出来，以充实和完善相关知识体系. 用题链教学一般要经历“引导—探究—总结—应用”等过程，具有循环上升的特性，是“师—生—师—生”的双主体动态教学过程.教师的主体作用保障了“驱动任务”的科学性，避免了完全依靠学生自主探究的低效和盲目性.学生的主体性体现在课堂的参与度和主动性，保证了教学目标的高效完成.二者互相促进，相辅相成.

3. 题链教学应关注学生数学素养的培养

题链的设计和教学，是以典型题目为载体，纵向开发知识深度，横向延展知识广度，逐步提高理论知识学习的教学方法，而這样的教学过程是渗透数学思想方法、培养数学思维、提高数学素养的绝佳机会. 如本文中一直渗透的数形结合思想、构造思想、转化和化归思想等.学生解题后，都相应地引导反思不同问题之间的联系，提升问题解决能力和抽象概括能力；要求学生对猜想的结论进行论证，培养严谨的逻辑思维能力；由“学”到“用”，提高数学应用意识和应用能力，提高数学素养.

4. 题链教学相比传统教学的优势

题链教学优势体现在三个方面：首先，通过巧妙的题目设计，自然而然地实现课堂横向拓展和纵向延伸，是对传统的“讲授型”课堂教学的补充和落实，以题链探究的方式巩固和加深相关理论知识的教学，帮助学生构建更清晰完整的知识网络；其次，题链教学过程的实施，很大程度上依靠学生的自主探究或合作探究，相对于传统教学，极大地提高了学生的主动性，能促进学生更全面地看待问题，帮助学生将所学的知识点融会贯通，充分培养学生的合作精神以及独立思考能力、转化化归能力、抽象概括能力、提高创新思维能力和问题解决能力，培养良好的数学素养，最终达到提高教学质量培养数学人才的目的；最后，题链的设计和探究方向把控是教师备课的关键内容，也是题链教学效果的有力保障，这个过程对教师前期备课充分性、资料整合科学性、课堂节奏掌控能力、中学数学专业功底等个人能力要求颇高，因此这一教学法比传统的教学方法经验型的备课过程，更能提高中学数学教师的教学能力和专业素养，促进教师队伍整体实力提升.endprint