浅谈初中几何添加辅助线的几点策略

陈莉娜

一、问题背景

初中平面几何是一门提高学生逻辑思维和分析能力的学科。对于大部分学生来说学习起来比较困难，往往学生最为头痛的就是如何在这些错综复杂的几何图形去添加合适的辅助线，其实添加辅助线也是有规律可循，教师在教学的过程中，不但要引导学生对知识进行系统的整理，同时也要引导学生对教材深入挖掘、提炼总结其思想实质，揭示归纳方法因素，以其更好地发挥思想方法的整体功效，从而提高解题技巧。

二、问题研究

（一） 中点模型的构造

1、考情分析

三角形是初中几何的重要内容之一，也是历年中考命题的热点，其中，三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年来多以计算和证明题的形式出现。通过对近几年中考有关试题的分析，预计与中点有关的操作性试题和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型。

2、技巧提炼

很多几何题会给出“点X是线段XX的中点”这样的条件，那么看到“中点”应该想到什么呢？“中点”有哪些作用呢？

已知任意三角形一边上的中点，可以考虑：

（1） 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。如图（a）、图（b）所示。

（2） 三角形中位线定理。

（3） 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。

（4） 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。

有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点，例如直角三角形中斜边中点，等腰三角形底邊上的中点，当没有这些条件的时候，可以用辅助线添加。

3、 例题精讲

如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，联结BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE。

【思路点拨】遇到中线，我们考虑倍长中线或类中线，因为AD是中线，所以加倍延长AD至点G，使DG=DA，联结BG，构造全等三角形，进行导角；或者加倍延长ED，构造全等三角形，再进行导角。

证法一：如图（a）所示，延长AD至点G，使DG=AD，联结BG.

∵DB=DC，∠BDG=∠CDA，AD=GD.

∴△ADC≌△GDB，∴AC=GB，∠G=∠EAF.

又∵AF=EF，∴∠EAF=∠AEF.

∵∠AEF=∠BED，

∴∠G=∠BED，∴BE=BG，∴BE=AC.

证法二：如图（b）所示，延长ED至点G，使得DG=DE，联结CG.

∵点D是BC的中点，∴BD=CD.

∴∠BDE=∠CDG，∴△BED≌CGD.

∴∠G=∠BED，BE=CG.

∵AF=EF，∴∠FAE=∠AEF=∠BEG.

∴∠G=∠DAC，即∠G=∠EAF，

∴AC=GC.

∴AC=BE。

变式训练

如图所示，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为△ABC的角平分线，求证：BG=CF.

【思路点拨】因为E是中点，所以加倍延长FE至点H，使EH=EF，联结BH构造全等三角形，进行导角。

证法一：如图（a）所示，延长FE到点H，使HE=FE，联结接BH。

∵CE=BE，∠CEF=∠BEH，FE=HE，

∴△CEF≌△BEH（SAS）.∴∠F=∠H，CF=BH.

∵AD平分∠BACA，∴∠1=∠2.

∵AD∥EF，∴∠1=∠AGF=∠2=∠F=∠BGH.

∴∠BHG=∠BGH，∴BG=BH.∴BG=CF.

证法二：如图（b）所示，取AB的中点Q，联结EQ，则EQ=?AC，EQ∥AC，∴∠QEG=∠F.

∵EF∥AD，∴∠F=∠2=∠1.

∵∠QGE=∠1，∠QEG=∠F，∠FGA=∠1，

∴∠F∠FGA，∠QGE=∠QEG，

故EQ=GQ，AF=AG.

∵BQ=AQ=GQ+AG，

∴BG=BQ+GQ=2GQ+AG.

∵2GQ=2EQ=AC，∴BG=AC+AF=CF.

（二） 角平分线模型的构造

1、考情分析

三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基本依据和方法，在中考题中经常利用角平分线的性质去证明线段相等、角相等或三角形全等。随着课改的深入，中考的题型也发生了变化。利用角平分线的对称性把图形翻折，再进行推理计算，以及与角平分线有关的探究题、综合题成为近几年中考的热点题型。

2、技巧提炼

与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型。

已知P是∠MON平分线上一点，

（1）若PA⊥OM于点A，如下图（a）所示，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”。

（2）若点A是射线OM上任意一点，如下图（b）所示，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”。

（3）若AP⊥OP于点P，如上图（c）所示，可以延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点。可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。

（4）若过点P作PQ∥ON交OM于点Q，如上图（d）所示，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 + 平行线，等腰三角形必呈现”。endprint

3、例题讲解

已知：如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若∠BPC=40°，求∠CAP的度数。

由题意可证∠BAC=2∠BPC.又∠BPC=40°，

∴∠BAC=80°，如下图所示，过P分别作

PE⊥CD，PF⊥AC，PG⊥BA，垂足分别为E、F、G.由角平分线的性质，得PE=PF，PE=PG，∴PF=PG.

∴∠CAP=?∠CAG=?（180°-80°）=?×100°=50°。

（三） 弦图模型的构造

1、考情分析

勾股定理的证明，从古至今引起无数人的关注，其证法到现在已有五百多种，“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。随着课改的深入，利用弦图或其衍生图来解决数学问题，已成为中考的热点题型。预计与弦图相关的中考题型有填空题、选择题、计算题及探究题，对探究题要多加注意；同时在解题时；要掌握作辅助线构造弦图的方法。

2、 技巧提炼

勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的。观察发现：很多图形中都可以提炼出一个相同的图形——三垂直全等模型。如右图所示。

三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时只需一半弦图——三垂直全等模型。

右图是三垂直全等模型经过直角三角形位置的变化之后所得到的另外两个有三垂直和全等三角形的图形，仅供做题时参考。

3、例题讲解

如图所示，向△ABC的外侧做正方形ABDE，正方形ACFG.过点A作AH⊥BC于点H，AH的反向延长线与EG交于点P，

求证：（1）EP=GP；（2）BC=2AP.

证明：（1）如下图所示，过点E，G分别作AP的垂线，垂足为M，N.

∴∠M=∠GNM=90°

.∵AH⊥BC，∴∠AHB=90°∴∠AHB=∠M.

∵四边形ABDE是正方形，

∴AB=AE，∠EAB=90°.∴∠1+∠2=90°.

∵∠2+∠ABH=90°，∴∠ABH=∠1.

∴△ABH≌△AEM.∴AH=EM，BH=AM.

同理可证△ACH≌△AGN

∴AH=GN，CH=AN.∴EM=GN.

∠EPM=∠GPN，∠M=∠GNM，

∴△EPM≌△GPN.

∴EP=PG.

（2）由（1）得，PM=PN.∵BC=BH+CH，

∴BC=AM+AN=AP+PM+AP-PN=2AP.

（四） 梯形中的辅助线问题

1、考情分析

“梯形”是近几年来中考数学综合题中的中点和热点题型，利用梯形的性质和它多种辅助线的添加，来证明线段相等，及进行线段、角、梯形周长和面积的计算，是中考的常见题型。

2、 技巧提炼

初二几何中梯形面积公式的教学，教材中给出作对角线、把梯形分成两个三角形的解法，教学中不应该停留在这种表层的认识上，应引导学生这种方法的深层次含义，既通过“分解与组合”思想，实现把未知问题转化为已知问题，并进而引导学生运用这种思想方法去探求问题的其他解法，培养学生思维的灵活性。在梯形中常见的有以下六种题型：

（1） 已知两底之差或求两底之差的题型，常过上底的一个端点添一腰的平行线与下底相交；达到把梯形分解成一个平行四边形与三角形的目的；求（图1）；

（2） 已知梯形的上底和底，求面积，常过上底的两个端点向下底作垂线，添高；（图2）；

（3） 延长两腰交于一点，可得到一对相似三角形 （图3）；

（4） 已知梯形对角线相等或互相垂直的题型，常过上底的一個端点作一对角线的平行线，与下底的延长线相交，体现组合的思想（图4）；

（5） 有中点时，常过一腰的中点作另一腰的平行线，分别与上底的延长线、下底相交（图5）；

（6） 有中点时，也常连接上底的一端点与另一腰的中点并延长，与下底的延长线相交（图6）。

3、 例题

已知等腰梯形ABCD的高是9㎝，AB∥CD，A C⊥BD，求它的面积。

（五）圆中的辅助线问题

1、考情分析

“圆”是近几年中考的重点内容，圆的概念和性质的考查主要以填空和选择题的形式出现，与圆的切线有关的证明题和计算题则出在解答题中。纵观近几年的中考题，圆心角的有关运算，垂径定理的应用，弧长、扇形、的计算在今后也还是中考的常见题型，而圆的切线的证明和计算，以及圆与锐角三角比、四边形、函数、方程等结合的综合题、探究题、开放题、动态题，将是中考的重点题型。

2、技巧提炼

圆中常见辅助线的作法，通常可以从以下几个方面考虑。

（1）构造等腰三角形

利用半径相等构造等腰三角形

（2）构造直角三角形

（a） （b）

图（a）利用直径所对圆周角是直角构造直角三角形

图（b）利用垂径定理构造直角三角形

（3） 圆心角与圆周角倒角

（4）切线的性质与判定

给切线：过切点作半径

证切线：①有交点：连半径，证垂直 如果两圆相切，过切点作两圆的公切线

②无交点：作垂直，证半径

（5）构造公共弦：如果两圆相交，构造两圆公共弦

三、研究小结

几何教学通过在各种复杂的图形中添加适当的辅助线去分析解决问题，以此来提高学生逻辑思维能力和分析解决问题的能力，这种复杂程度往往也成为许多学生望而生畏的原因。用添加辅助线的方法来解决几何问题是实践证明的最有效的方法，它在整个初中几何学习中的地位不可小觑。要想真正学好几何，就要找到辅助线添加的有效策略，熟练掌握技巧方法，不断丰富解题思路，使学生能够在每一次的几何解题中获得成功体验，能够始终保持学习几何的积极性，提高学习效率。endprint