太阳高度角计算公式及光伏应用

于琼燕，刘帅帅，李海东，张 倩

(河南工程学院 理学院，河南 郑州 451191)

太阳高度角计算公式及光伏应用

于琼燕，刘帅帅，李海东，张 倩

(河南工程学院 理学院，河南 郑州 451191)

为了更好地利用太阳能，需要研究太阳在一年内的位置和辐射能的变化，而高度角作为确定太阳与地球位置的重要参数之一，理解其计算公式尤为重要.结合球面三角形边余弦公式和天球坐标系参数，详细分析了高度角的计算公式，并对太阳高度角的光伏应用作了阐述.

太阳高度角；计算公式；光伏应用

太阳能与地球生命息息相关，其研究遍布气象、航天、工程建筑、植物种植等[1-4].特别是随着世界经济的不断发展和人口的持续增加，能源的紧缺和环境的污染问题被广泛关注，而要解决能源和污染这两大问题，就要寻找新能源.太阳能作为一种清洁无污染和资源丰富的新能源，对其有效利用引起了全世界科学界的关注，一个焦点就是太阳能光伏系统的研究与开发.但是，由于不同地区太阳的辐射量存在较大差异，对各地区的太阳辐射量的研究成为开发利用太阳能的前提.在时角、赤纬角、地理纬度、海拔、气候等众多的影响因素中，太阳的高度角成为影响其辐射量的重要因素之一.但是，有关太阳高度角的文献对其计算公式来源只是简单说明，均未做详细推导[5-7].本研究结合天文三角形边余弦公式和天球坐标系参数详细推导出太阳高度角的计算公式，以便在理解和掌握太阳高度角计算公式的基础上更好地利用太阳能.

图1 太阳高度角Fig.1 The solar elevation angle

1 太阳高度角计算公式推导

1.1太阳高度角的定义

太阳高度角是在天球的地平坐标系中定义的，在以观测点为中心和任意长度为半径作天球的基础上，首先建立以观测点正上方的天顶Z为基本点、南点为原点的地平坐标系，经过天顶和太阳天体X的大圆与地平圈的交点M，弧度XM就定义为太阳的高度角h[8]，如图1所示.

1.2天文学球面三角形的边余弦公式

图2 球面三角形PZX及辅助线Fig.2 The spherical triangle PZX and auxiliary lines

太阳高度角的计算公式起源于天文学球面三角形的边余弦公式[9].图2所示球面三角形PZX位于以O为球心,OP,OZ,OX为半径的球体上，其3条边分别为a，b，c，3个顶点与球心O相连接.过顶点P做a，b边的切线，分别交OX，OZ的延长线于A，B，得到4个平面三角形OPA，OPB，OAB和PAB.其中，△OPA和△OPB为直角三角形，球面三角形PZX的3个边a，b，c与球体中心O形成的三个角分别为角a，角b和角c.

利用平面三角形的边余弦定理，在△OAB和△PAB中存在公式(1)和(2)：

AB2=OA2+OB2-2OA·OBcosc，

(1)

AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cos∠APB.

(2)

由式(1)和式(2)得

2OA·OB·cosc=OA2+OB2-PA2-PB2+2PA·PB·cos∠BPA.

(3)

在直角△OPA和△OPB中，存在下面两个等式：

OA2-PA2=OP2，OB2-PB2=OP2，

代入式(3)简化得

OA·OBcosc=OP2+PA·PB·cos∠BPA.

整理后得式(4)：

(4)

在直角△OPA和△OPB中，存在下面几个等式：

代入式(4)得式(5)，即球面三角形边c的余弦公式：

cosc= cosa·cosb+ sina·sinb·cos∠BPA.

(5)

1.3太阳高度角计算公式

图3所示的天球，O为天球球心，也是观测点；Z为天顶；P为北天极；X为天体太阳；M是经过Z和X的大圆与地平圈的交点；T是经过P和X的大圆与天赤圈的交点；经过天球球心O与OP垂直的面为天赤面，经过O与OZ垂直的面为地平面;Q是经过P,Z的大圆即子午圈与天赤面在南点附近的交点;S是经过P,Z的大圆即子午圈与地平面在南点附近的交点.

根据天球的两个坐标系——地平坐标系和时角坐标系中有关角度的定义，弧XT是太阳的赤纬角δ，弧XM是太阳的高度角h.根据和为90°的关系可以计算出弧ZX(边c，对应角c)和弧PX(边a，对应角a)分别为(90°-h)和(90°-δ).同理，有OZ与天赤面的夹角为地理纬度φ可以得到弧PZ(角b，对应边b)为(90°-φ)，即球面三角形PZX的3条边PX，PZ和ZX与球心O形成的角分别为(90°-δ)，(90°-φ)和(90°-h)，即球面三角形PZX的3条边a，b和c对应的3个角a，b和c分别为∠a=90°-δ，∠b=90°-φ，∠c=90°-h.

为了更好理解，在图3的基础上过顶点P做球面三角形PXZ边a的切线，即经过P，X大圆的切线与OX的延长线交于点A.同样，过顶点P做球面三角形PXZ边b的切线，即经过Z，X大圆的切线与OZ的延长线交于点B，则得到△OPA，△OPB，△OAB，△PAB.其中，△OPA，△OPB为直角三角形，如图4所示.这说明图3和图4中的球面三角形PZX与图2中的球面三角形PZX相同.则公式(5)在图3和图4中同样成立，即

cosc=cosa·cosb+sina·sinb·cos∠BPA.

图3 太阳X在地平坐标系中的位置Fig.3 The location of solar X in the coordinate system

图4 坐标中的太阳X和球面三角形PZXFig.4 The spherical triangle PZX and solar X in the coordinate system

将角a,角b和角c的值代入公式(5)得到如下等式：

cos(90°-h)=cos(90°-δ)·cos(90°-φ)+sin(90°-δ)·sin(90°-φ)·cos∠BPA.

(6)

简化式(6)得

sinh=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cos∠BPA.

(7)

图4中，Q是经过P，Z的大圆即子午圈与天赤面在南点附近的交点，则弧QT即天体太阳X的时角τ.由于球面三角形PZX的边a的切线PA与OT平行且共面，边c的切线PB与OQ平行且共面,则存在下面的关系式：

∠BPA=τ.

(8)

将式(8)代入式(7)得太阳高度角的计算公式：

sinh=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cosτ.

(9)

2 太阳高度角在太阳能光伏发电中的应用

太阳高度角公式除了准确推算某地、某时的太阳高度角之外，还可以在其基础上推算出有关光伏发电系统设计的其他重要参数公式，如正午太阳高度角、日照时数等，在太阳能光伏发电系统设计中也起着重要作用.

(1)正午太阳高度角

根据时角的定义，正午12∶00时角τ= 0，代入公式(9)得

sinh=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cos 0,

简化整理得sinh=cos(φ-δ)=sin[90°±(φ-δ)]，则正午高度角的计算公式如下：

h=90°±(φ-δ).

(2)日照时数

日照时数T为每天日出和日落时刻之间的时间，也是日出和日落两个时角的差值，这是太阳能光伏系统安装选址的重要参考，其计算方法由高度角计算公式推导得出.利用日出和日落瞬间高度角h=0，代入公式(9)得sin 0=sinδ·sinφ+cosδ·cosφ·cosτ,简化整理得τ=arccos(-tanφ·tanδ).

日出和日落时刻时角分别为

τ出= arccos(-tanφ·tanδ)，
τ落=-arccos(-tanφ·tanδ).

已知地球绕太阳自转时速为15°，则日照时数T的计算公式如下:

图5 太阳电池组件安装距离Fig.5 The installation distance of the solar cell components

(3)电池组件安装间距

为避免前后太阳能电池组件的遮挡而影响太阳能的吸收利用，并且考虑到充分利用占地面积，需要精确计算出电池组件即电池组件安装的间距S.此计算方法也广泛用在工程建筑上，如计算楼间距以减少楼层间的阳光遮挡.

如图5所示，电池组件方位角为正南方向，E和A分别为太阳光线与电池组件上边缘和地面的交点，过E作地面的垂线交点为C，则EC为电池组件的垂直高度.经过C作电池组件下边缘的垂线交于D点，则CD指向正南方向，过A作CD的平行线交电池组件于F，连接AC，则AC为AE在地面的投影，即太阳光线在电池组件后面的投影.图5中，∠EDC为电池板倾角β，∠EAC为太阳高度角h，∠CAF为太阳方位角γ，过A作DF的平行线交DC延长线于B，则△ABC为直角三角形且∠ABC为90°.

设电池组件长ED为L，电池组件间的地面距离为S，则S的计算公式为

S=DB=BC+DC=L·sinβ·ctgh·cosγ+L·cosβ.

出于保护的目的，电池板的安装需要支架支撑，一般离地面几十厘米，故在图5(a)的基础上，增加4个支架得到图5(b).此时,电池板下边缘距离地面高度为GD,按照上述分析方式得到电池组件间距BD为

S=DB=BC+DC=(L·sinβ+GD)·ctgh·cosγ+L·cosβ.

(4) 组件安装倾角

太阳能光伏发电系统是光能转化为电能的发电系统，充分利用太阳光和提高太阳能对电池板的辐射量是提高发电量的关键，而组件安装的倾角β直接影响太阳能的辐射量，所以计算出精确的倾角至关重要.首先，由安装的地理纬度及当地的辐照值绘制电池的光电转换曲线[10-12]，再由太阳高度角确定电池组件安装的倾角，而地面获得的太阳能S0直接由高度角决定，见公式(10)[13]:

S0=J0Dm2sinh,

(10)

式中:J0是太阳常数;Dm2是太阳到地球距离的订正值.虽然高度角和安装倾角没有直接的计算公式，但是其公式推导间接利用了高度角.

3 结语

太阳高度角的公式来源于球面三角形的边余弦公式，在介绍边余弦公式的基础上，结合天球坐标系中的高度角、赤纬角、时角等重要参数，将两者放在一个球体里，分析太阳高度角的公式推导.掌握太阳高度角公式推导首先能够更好地理解太阳与天球坐标系中各坐标参数的关系，准确定位太阳与地球的相对位置,其次利用太阳高度角公式可准确计算出任意时刻、任意时间太阳的高度角,最后利用高度角可推算出组件安装间距、太阳日照时数等重要参数.

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Formuladerivationandapplicationofsolarelevationangle

YUQiongyan,LIUShuaishuai,LIHaidong,ZHANGQian

(CollegeofSciences,HenanUniversityofEngineering,Zhengzhou451191,China)

Study on location and radiant energy change of solar in a year is needed to make good use of the energy. As a major parameters to ascertain the location of solar, it is important to understand computational formula of solar elevation angle. In the article, the formula is detailedly analyzed with side cosine formula of spherical triangle and parameters in celestial coordinate system. Then the photovoltaic applications of solar elevation are elaborated.

solar elevation angle; computational formula; photovoltaic application

TM914

A

1674-330X(2017)03-0077-04

2017-04-02

河南省教育厅科学技术研究重点项目(15A150044)；河南工程学院博士基金(D2012020)

于琼燕(1980-)，女，河南漯河人，讲师，博士研究生，主要从事太阳能电池的研究.