浅谈数论中二元二次型理论的起源与早期发展演化

林慕凡

【摘要】现代数学发展至今，已经经历了数以千年的发展历史，这其中蕴含了无数数学贤者的智慧结晶与心血。其中，数论当中有一个非常重要的分支理论，叫做二元二次型理论，它与初级数论当中所涉及的许多基础性定理都是息息相关的。本文，通过数篇原始级别文献资料，全面化的分析了关于数论中二元二次型理论的起源与早期发展的一系列演化过程。随着时间不断的推移，笔者相信通过探究数论中二元二次型的演化历史，将会对未来其余的数学有关学科带来十分积极的影响，从而推动整个中國乃至于全世界的数学文明进程。

【关键词】数论;二元二次型理论;起源;早期发展演化

从理论意义上来看，关于数论的概述，事实上即是指有关数字的所有规律性变化，尤其是整数性的规律。因为整数是最能贴近生活，也是最为浅显易懂的数字化对象。据悉，早在古希腊时期人们就已经把整数寓意为完美的和谐范本，而且把它当做是宇宙万物的基本守恒原则。古希腊智者通过数论，构建了人们常谈论到的“万物皆数”的哲思理念世界。可以毫不夸张的说，关于数论当中整数性质的研究已然成为了所欲偶数学名家智力考据、宇宙探索的基础性目标。

一、关于二元二次型理论的萌芽状态

从一般情况来看，运用乘法以及加法是正整数最为基础性的两种运算方式，它可以将一个正整数拆分成多个正整数相乘、相加得出的“积”与“和”来解决数学问题。用乘法来解决问题相对比较容易，因为算数的基础定理可以从理论上进行合理的阐述，而运用加法来表示问题则相对比较复杂。因此缘故，社会大众在探索每一个具体数字的时候都是用较为特殊的一些数字进行相加来表示需要的数论，例如立方数、平方数以及图形数等等。而关于二元二次型理论的萌芽，最早应该从古希腊数学家毕达哥拉斯身上，他是最早研究关于勾股数的数学家之一，不过这种类型的数论实际上到了古希腊数学的晚期方得以系统化成型，才能真正的用来解决对应的数学问题。对此，将从如下几个方面来具体阐述关于二元二次理论的起源于早期发展状态。

（一）关于丢番图《算术》中的型数

远在古希腊时期，丢番图就写出了他的伟大数学巨作《算数》，这部巨著解决了当时非常多的数论以及代数方程的问题，使得他被人们誉为“代数之父”。关于《算数》这本巨著，它与同样惊为天人的欧几里得的《几何原本》交相辉映，两人共同把代数以及数论的发展推动到巅峰的位置。《算数》这本著作全篇共有13卷，它对毕达哥拉斯学派提出的“x2+y2=z2”不定方程式展开了更深层次的研究与分析。其中，在第18卷有一个问题是这样的，“将已知的一个平方数，分解成为两个平方数之和”;以及“要得出两个平方数，致使它们之间的总和恰好为立方数”等等，丢番图还有众多诸如此类的解题思路，他无疑是那个时代的数论解题大师。

而事实上，丢番图也并不是圣人，他自身有着某些较为固执的特点，甚至从总体来看丢番图缺乏实质性的概括定论。而且，丢番图还不承认无理数解以及负数解这两种数学理念，过多的侧重于于立方数、平方数的研究。不过，他把型数当成是一种独立的数论个体来进行研究，细致到把一个数分解成“ x2+y2”的问题进行研究，而恰好这个定理就是最为简单、直接的二元二次型理论。由此可以推断，二元二次型的萌芽正是丢番图所提出的。历史推进到1621年，《算数》这本著作推出了拉丁文一本，这本巨著直接成为了法国著名数学家费马研究的起点。

（二）关于费马提出的“微积分”理论

法国著名数学家费马对于“x2+ ny2”的研究，促使他成为了数学研究历史上首先提出“微积分”理论研究的先行者，费马奠定了几何解析的基础，并且在后期一同与帕斯卡构建了“概率论”。尽管如此，费马其人更为令人惊叹的是他在数论方面的非凡才能。毫不夸张的说，他对于数论的间接直接引导19世纪所有数论的研究动向，亦正是由于他的成就，才导致整数论逐渐成长为一门独立的专业化学科。不过，遗憾的是费马终其一生都没有发表过任何一门著作，关于他的数论理论成果几乎都是通过他与朋友的通信以及各类读书评注当中。费马在一封写给好友梅森的书信当中就曾提出，类似“4n+1”这样的素数以及其平方数，可以直接以两者之间的平方数之和来表示，例如：“5=22+12，52=42+32”。一直到1674年左右，费马提出：如若b被定义为一个非完全平方的整数，那么佩尔方程式“x2+by2=1”则会有无穷无尽的解法。之后，费马加深了“ x2+by2=c”的拓展范围，指出此类数论方程式可以在已知b以及c时，可以存在无数的递减法解题原则。

（三）欧拉对费马数论工作的推动

在费马以后，数论陷入了一段长时间的颓靡期，不过这段时间最终被著名的数学家欧拉所打破。毫无疑问，数论发展至欧拉时期，其中涉及到的许多问题在陈述的时刻都已经逐渐显得简单起来，不过一旦需要领用数论的方法论进行对应的回答，则令不少的数学名家都顿感头疼。在数论的实践过程中，欧拉以一己之力证明了“x2+y2、x2+2y2、x2+3y2”的数学论断，之后又在1744年进一步推动了关于“x2+27y2、x2+64y2”等一系列论断的数学论据，他的这些成果在数学研究历史上具有非常重要的意义。其中，法国著名数学天才提出了一段关于二元二次型理论的论断，他通过二元二次型的等价以及约化理论，提出了关于方便数的证明：如果d=1，2，3，4，5，6，7，8，9......1320，1365，1 848（共 65 个）满足，如若d=ab，并且其中有一个数字为唯一性的表示型“ax2+by2”，其中“ax，by=1”那么一定可以推断出这个数是素数“p、2p 或 2k”。总体而言，可以看出欧拉的研究成果实际上是对费马数学成果的一种拓展和推动，而且事实上，欧拉关于“二平方定理”方面的贡献无疑是举足轻重的。

二、关于二元二次理论的发展

通过早期的欧拉提出的二元二次型理论，这套理念已经逐渐成为一类数论问题的汇总版本，只要有相关的数论问题能够提出，它就能给与明确的解决答案与技巧，可以让无数数学家不断的推翻在革新，类似这种看似逐渐深入的研究方式，实际上导致二元二次理论发展的愈发杂乱无章，一直到拉格朗日和高斯两位数学家的诞生，二元二次型理论才逐渐完成了一次质的飞跃，因为这套理论不再拘泥于个别的二次型，它能够适用于几乎所有的高抽象化数论研究。

（一）拉格朗日的奠基性工作

纵观早期所有数论研究中关于二元二次理论的应用，大部分时候都只是解决了部分问题，从现实意义来看，拉格朗日才是真正奠定二元二次理论的集大成者。他用自己独特而敏锐的洞察力与创造力，证明了费马提出的一系列未能证明的数论猜想。发展到1768年，拉格朗日完成的数学论文《算数问题的解》，第一次证实了关于佩尔方程提出的“x2+by2=1”，他明确的指出此方程式不仅可以得出结论，而且解题的方法可以有无数种。不过，拉格朗日的数学研究也不是毫无遗憾的，因为这篇论文一直到1773年才得以问世，同年他发表的《算数研究》推出关于二元二次型的一般性理论，力证关于素数成型的“x2+2y2、x2+3y2”等。拉格朗日其人的成就，已经完美的超越了诸如费马以及欧拉关于二元二次型个别问题的研究，其思维之严谨，有效的将无穷多个型的研究进行简化，毫不夸张的说，拉格朗日在整个数论研究历史上都是二元二次理论的第一人。

（二）关于高斯的创新化发展

随着历史进程的推进，虽然拉格朗日对整个数论研究历史起到了空前的推动作用，但是若是要谈及二元二次型理论的系统化发展，其功劳应该归功于著名的数学家高斯。在1801年，高斯撰写的《算数研究》一经问世便已轰动数论学术界圈外，他在拉格朗日二元二次型规则之上，持续创新了众多关于二元二次理论的专业化术语以及概念，并且將其规范化，在原有的数论基础上推陈出新，制定了一整套完整的数论处理系统，并且从多个角度进行二元二次理论的内容扩充与优化。最终，高斯用自己对于数论中二元二次理论的研究成果，推动了整个19世纪关于数论研究的风气，让数论成为一个专业化，独立性质的数学研究对象。

三、二元二次型理论之于数学史的重要意义

总体而言，高斯关于数论中的二元二次理论的研究成果，不仅带动了现代数论研究的新潮流，并且还决定了这一课题在未来的正确引导作用，二元二次型理论之于数学史的重要意义有很多，如下从几个方面展开详细的阐述。

（一）成为代数理论的奠基

在诸如方程式“x2+y2= n”的求解过程中，利用高斯提出的整数理论“a + bi（其中a 、b 均为整数）”就可以得出正确的解答。通过一些列的数论“研究环”，发现在“Z[D]（ D = b2- ac）”之中，有很多元素其实都不具有唯一性的分解属性，在这种情况之下，便延伸出了更广泛的“域”和“环”，高斯在这一方面的工作可以说是二次域研究领域的起源。而且，高斯许多关于二次域的算数问题都是在现实中一系列精确化计算过程中得出的，由此可以论断，高斯在二次型的基础之上实现了二次域的具象化计算过程，这一成果无疑是非常伟大的。

而且，从技巧层面来看，高斯关于“型”理论的应用是非常聪明的，著名的尚克斯曾经说过：“大部分在数论当中谈及型的合成都是非常困难的一件事，乃至于有很多鼎鼎大名的数学家都惧怕关于型的合成，因为这只有通过分数，乃至于更加理想化的研究形势才能进行改善”。而后的数论研究发展，一直到戴德金才探究出更加理想化的概念，再将其引入数论当中，让后代的数学家便于探讨关于二次域等抽象化代数理论。科研所，戴德金是高斯二元二次理论的继承者，他在前者的基础之上记性创新化改造，并且促使二元二次型的相关理论成为整数形式数论的有力证明。

（二）逐渐演化成型的二元二次型理论

从高斯、尚克斯、戴德金等数学大师之后，关于二元二次新理论方面的论断基本已经成型，并且在人们的心中逐渐形成了一定的公信力。在此之后，越来越多的人逐渐把眼光从二元二次型理论延伸至多元二次型理论的研究，犹如西伯对三元二次型等价问题展开的研究，在至其后爱森斯坦将其成果进一步的进行推广和深化。之后关于二元二次型的延伸名家越来越多，其中狄利克雷撰写的数学巨著《数论讲义》当中，在原有数论认知的基础之上，他还提出了更多极具创新价值的结论。经过无数的数论研究实践，发现有很多的数学分支，例如“不定方程、三角和、积分学”等等，它们与数论之中都存在千丝万缕的关联性，进而拓展了各个数学分支之间的研发高度。与此同时，数学大师切比雪夫带领他的学生，一同对朗格朗日的数论研究路线进行深入的挖掘，进而延伸出了“N元二次型数论理论”。二元二次理论发展至此，逐渐成为主流的抽象化数学思想，并且广泛的进行延伸和应用。

四、结语

综合以上文献内容所述，不难发现数论中关于二元二次理论从萌芽到研究拓展，在到如今逐渐成型的体系当中，其经过了漫长的演化过程。它集合了无数数学大师的心血与智慧，在整个数学体系当中都具有无可替代的特殊性地位。从古希腊时期的数论初期，数论便已经是伟大的一门学问，玄妙务必的二元二次理论发展到当前阶段，找已经成为了现代数学的重要基石。在现实当中的数论应用上，它可以冲破许多陈旧的数学思想，更启迪了诸如“代数结构思想、抽象大师叔、线性代数”等一系列的数学理念。而且实际上，这些看似离人们非常遥远的高深数论理念，也正在对人们的生活起到举足轻重的影响。文末，殷切的期盼数论理念可以在未来开出更具开创性意义的数学分支，从而为全人类服务。

参考文献：

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