1.2解三角形应用举例

李剑飞

一、教学目标

1.知识与技能

（1）巩固正弦定理和余弦定理的基础知识（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题。（3）培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，从而培养学生分析问题和解决问题的能力：同时培养学生数学建模能力。

2.过程与方法

通过学生思考，交流—>教师引导，分析师生合作探究，建立模型，归纳总结，提炼，逐步深入的过程；采用变式深化，分层递进的方法，由简到繁，由易到难，再把复杂问题转化为已经解决的问题来解决，螺旋上升。

3.情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值与文化价值；

二、教学重点、难点

教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

教学难点：根据实际问题和数学知识的联系建立数学模型，然后应用数学知识求解。从而培养学生的数学应用已设解决实际问题的能力。

三、教学设计

1.复习旧知

复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？（待学生回答后用图片在屏幕上展示课件图片）

（1）什么是正弦定理、余弦定理

（2）运用正弦定理能解怎样的三角形？

①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.

（3）运用余弦定理能解怎样的三角形？

①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.

2.新课讲授

（1）提出问题

在讲台两侧的地面上各取一点A，B，不能穿过讲台，如何测量A，B两点之间的距离？（测量工具：测角仪。皮尺）

设计意图：问题情境简单，思维开放，就地取材，激发学生的参与热情

1.学生思考，交流，汇报方案

2引導揭示数学本质，建构模型

对于解三角形的实际应用，我们不难看到三角形的边其实际上就是线段，也就是两点之间的距离，从而现实中的距离的问题就可以通过正弦定理，余弦定理解三角形来解决。这就需要我们构造三角形，把实际中的距离转化为三角形的边来求解，从而需要解决转化这个问题，如何建模，如何测量，如何构建的问题。

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。

设置情境：给学生播放记录片段1949，4渡江战役，百万雄师渡长江的战役，我军工兵在我方测量我方大炮和敌方防御工事的距离，要知道，准确的测量可以大大提高大炮的准确率 减少我军战士的牺牲，进而为赢得胜利奠定基础，（当时测量工具只有测角仪，皮尺）

（2）提出问题：我方测量我方大炮和敌方防御工事的距离？

设计意图：激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；培养学生爱国主义精神。

1.学生思考，交流，汇报方案

2引导揭示数学本质，建构模型

例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， BAC= ， ACB= 。求A、B两点的距离（精确到0.1m）

提问1： ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

小结：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。

例2、当时，D地的敌人以每小时20公里的速度来支援B地的敌人，他们多少分钟后到达，能不能在支援的敌人到达之前占领B地，具有重大的战略意义，我们得先计算BD两点的距离？

设计意图：分层递进，螺旋上升，进一步应用知识。培养学生探寻解决问题的思路与策略。

如图，D、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量D、B两点间距离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出BC和CD，再利用余弦定理可以计算出BD的距离。

3.归纳总结：1）两点间的距离，大致又可分为（1）可直接测量的两点的距离（中间无障碍物），（2）两点之间有障碍物而且均可到达两点的距离，（3）一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离。（4）两点都不可到达的两点的距离。

2）解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解