以不变应万变 从无图变有图

苏建强

摘 要：无图题往往需构造图形来辅助解决，而直接借助分类讨论思想构图是常用的方法之一，在这样的构图中，师生常处于“不知其所以然”的状态.教师应该通过激活学生思维上的连接点，以寻求构图的关键所在：找不变的图形和不变的数量关系.

关键词：无图；不变；构图

无图题常需构造图形来辅助解决，构图过程不仅能考查学生对文本的解读能力、空间想象能力，也是对用数学知识解决问题能力的综合考查.在实际操作中，学生往往不能把握构图的“七寸”，甚至处于“束手无策”的状态，教师也经常游离于问题解决的“核心”之外，只见树木不见森林.为此，笔者有意进行了探究和实践，现以课例形式和读者共飨.

一、目标定位

1.经历无图题中构图的一般过程，通过类比、分析，归纳构图的一般方法，发展学生几何直观、数学概括能力；

2.通过无图题问题的解决及构图一般方法的获得过程，体会以不变应万变的辩证思想在问题解决中的应用.

二、教学设计及实践

（一）推陈迎新 感知不变

新课伊始，教师给出两个无图题要求学生解答.

练习1 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP，若反比例函数的图象经过点Q，则k=_________.

练习2 在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 .

在学生的解答过程中，教师让两名学生分别把求解的简要过程写在黑板上指定的位置（两名学生无一例外地都画了草图，如图1、图2）.待绝大多数学生完成解答后，教师追问.

问题1 你是怎么确定线段PQ中Q点的位置的？

生1：（对着所画图1）因为点Q在直线l上，并且QP=OP=，于是，，这样就可以求出k的值了.

问题2 △BDE中E点的位置你是怎样确定的？等腰三角形BDE中，什么量是确定的？

生2：因为△BDE中BD位置是确定的，所以一个E在BD左边，另一个在右边，等腰三角形BDE中顶角∠BED=120°，这是已知的.

问题3 以后碰到类似的无图题，我们该怎么办？

学生：（异口同声，很自信）先画图！

设计意图：教师直接给出学生能独立解决的两个无图题，问题1、问题2的设置意在引导学生变换视角，从理性角度分析“为什么会想到这样构图的”，引起对问题解决中思维方式的反思，起到了先行组织者作用.对问题3的思考，学生都停留在“先画图”的层面上，这样的回答尽在教师的掌握之中，此时教师也并不急于引导学生分析归纳一般方法.

（二）对比归纳 理解不变

基于学生已有学习经验，又能通过变换视角发现更一般规律的设计，往往更能激发学生的学习兴趣、求知欲，从而提高课堂教学的有效性.有了以上铺垫，教师给出练习3.

练习3 在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，CD=AE.若AD=12，AB=20，求tan∠ECD的值.

在教师“有图吗，怎么办”的引导下，多数学生都能很快完成其中一种情况的构图及解答.学生代表在黑板上画出符合条件的两图形后（如图3、图4），教师追问完成下列问题.

问题4 你是怎么想到符合条件的图形有两个的？

生3：题目中没说三角形的形状，所以应该一个是锐角三角形，另一个是钝角的.

此时，教师并没有在锐角三角形、钝角三角形上和学生进行深入讨论.

问题5 对比图1、图2，你能发现其中都有哪些不变的图形或数量关系？

生4：AD，AB的长度是不变的.

生5：（大声地）△ABD的形状和大小都不变的.

问题6 如果我们先画出这个不变的△ABD，那么在△ABC中的点C的位置在哪里？（稍做停顿）在△ABD哪条边所在的直线上？

生2：在BD直线上，因为AD为△ABC的高线，所以C， D， B在一条直线上.又因为CD=AE=10，所以左边一个右边一个.

此时，教师自言自语“原来这两个图可以合二为一”，并用圆规将图3改为图5.

问题7 生5说得好，练习3中△ABD的形状大小不变.请大家回忆一下，刚才生2说练习2中△BDE的什么是不变？练习1中呢？

学生：（补充回答）练习2的△BDE中BD位置不变，练习1中点P位置不变.

问题8 由此可知，解决无图题中画图的关键是什么？

学生：（七嘴八舌地）找到所作图形中不变的图形，然后根据题目所给的数量关系就可以画出来了.

设计意图：教师的“有图吗，怎么办”两问看似多此一举，其实突出“无图变有图”之意明显，正所谓“脑中无图学了糊涂，脑中有图学了清楚”.问题4的设置意在促使学生回顾问题解决中的思考过程.问题5、问题6是通过对比两图形找到它们之间的区别和联系，为变换视角寻求解决问题的一般途径做好铺垫.问题7、问题8意在让学生经历反思归纳的过程，突出解决无图题的关键在于构图，而“构图”的关键在于寻找图中不变的图形和不变的数量关系.

（三）拓展升华 强化不变

养兵千日用兵一时，归纳总结得到“构图”的一般方法后，教师给出了有一定綜合背景的练习，以期促使学生进一步巩固理解所学新知.

练习4 点A，B，C都在半径为的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H，若，求∠ABC所对的弧长.

几分钟的独立思考后，见学生脸带难堪，教师引导学生分析题意.得到本题的实质就是求∠ABC的度数后，正要组织学生画图分析.生2举手了，教师打住自己思路，示意生2发言.endprint

生2：这个题目的图形有三种情况，但结果只有两个，一个是30°，另一个150°.

教师：你具体说说怎么做的.

生2大方地走上讲台，画了一个草图（如图6）.

生2：（指着图6，一边比划一边解释）我先画了这么一个草图，结果发现图中与边BH和AC有关的△BHD和△ADC是相似的，于是就知道了对应边BD与AD的比值为，所以求出了一个∠ABC为30°.（稍喘了一口气后继续）之后我又发现，在这个图中△ABD的大小虽然可以改变，但它的形状是不变的，所以我就把它定下来了.点C作为△ABC中不确定的点，应该在BD直线上运动，所以它可以在BD延长线上、BD上或DB延长线上共三种情况.当点C在DB延长线上时，∠ABC=150°，和原来的角互补（指着图6）.

随着生2略带羞涩地回到自己座位的同时，教室里的学生若有所悟地开始骚动起来（当年难倒一片学生的压轴题，就这样被秒杀了），进而响起了热烈的掌声.

教师平复了一下自己内心的激动后，似乎想一探究竟地问道：是不是生2有什么解决这类问题的秘诀，还是请他来谈谈自己的看法.

生2：（一边解释一边补充）这类问题其实只要先画出一个最简单的图形（最好是锐角三角形），再找出其中不变的图形，根据这个图加上已知的数量关系推演开去就行了（就是让不确定的点动起来）.

教室里再次响起了热烈的掌声.

设计意图：事物的本质往往隐含于纷繁复杂的外表之下的，去伪存真才能找到解决问题的捷径，显然这就是练习4设置的用意所在.经历了找不变的点，到不变的线段，进而是不变的三角形，最后落脚于练习4中三角形的形状不变的设计也在情理之中.学生2的表现虽出人意料，但就整堂课的设计来看却是水到渠成之笔.

三、教学反思

（一）基于最近发展区 从无图变有图

学生是课堂教学的主体，基于学生已有发展水平的教学设计才能有效地达成教学目的.本节课的设计，意在学生已有的解题经验和习惯基础上，通过改变视角重新探求构图的一般方法.练习题的设置中，既体现了对学生原有认知的尊重，又在对原有解法中的不变图形和不变量的分析中，逐步实现对解决无图题中构图方法的再认识. 用变换视角后的方法来寻求练习4的解决之路，更给人以“柳暗花明又一村”之感.

（二）基于活动体验 以不变应万变

数学知识的获得是一个学生主动参与，积极求索的过程，因而一系列有助学生探究的活动设计是必不可少的.本节课从三个起点较低的练习着手，采用启发归纳为主的方法，探究无图题中构图的一般方法，设置的初衷是为了营造更适合学生参与，更关注思维的活动氛围. 在活动的組织形式上，看似形散实则神聚，整堂课充满生生、师生之间的交流和合作.学生在观察、对比、猜想、总结中，悟出了构图的一般方法的同时，以不变应万变的辩证思想在实际问题的解决中的应用也就呼之欲出了.endprint