巧解排列组合问题的有效手段

徐海杰

摘要：纵观现在的高考数学试卷我们可以发现，有关排列组合的问题每一年都是数学的高考内容。虽然这个内容大都是出现在一些填空题或者是选择题中。但是为了能够拿到排列组合的分数，我们也应该对此充分重视。根据日常中我们平时接触到的排列组合问题来看，这些题型都是跟实际生活有一定的联系的，而且题型也非常多样化。因此，我们应该针对不同的题型研究出不同的解决方法，确保在遇到排列组合问题的时候能够得心应手。在本文中，就针对于如何巧妙地解出排列组合问题提出了一些方法。

关键词：高中数学；排列组合；手段

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2017）12-0218-02

Abstract： throughout the present college entrance examination math test paper， we can find that the question about arrangement and combination is the content of mathematics college entrance examination every year. Although this content mostly appears in some fill - in questions or choice questions. But in order to get the scores of permutations， we should pay attention to them. According to the arrangement and combination problems we are exposed to in daily life， these questions are related to real life to a certain extent， and the questions are also very diverse. Therefore， we should develop different solutions for different types of questions， so as to ensure that we can handle the problem of arrangement and combination with ease. In this paper， some methods are proposed to solve the problem of permutation combination skillfully

Key words： high school mathematics； Permutation combination； methods

在高中数学的学习中，我们经常为椭圆、函数等一些复杂的问题头疼。但是，殊不知，有关排列组合的内容也是高考中的常考点。排列组合看起来比较简单，但是题型比较多样化，而且思维也比较抽象，解法非常多。稍有不注意，就会产生差错。因此，对于这个问题，我们要着重注意。在解决有关排列组合的问题的时候，我们首先就应该清楚题目的本质，将题目中所隐含的条件挖掘出来，根据不同类型的题目选择合适的方法来解决。

1 关于错位重排法的运用

错位重排法是我们在排列组合问题中经常可以用到的一种方法。而且，这种方法的使用非常简单，它有固定的结论，这种结论可以根据题目的内容直接往上套，答案就呼之欲出了。在实际的问题上，采用这种方法可以帮助我们快速地解出问题的答案。这里错位重排法的结论就是：若是题目中有3个元素，那么采用错位重排法得出的答案就是2；如果题目中有4个元素，那么采用错位重排法得出的答案就是9，；而若是题目中有5个元素，那么采用错位重排法得出的答案是44。[1]根据这个方法，我们来举个例子进行说明：

现在有四个小朋友一起比赛做小点心，每一个小朋友都需要做一份小点心。点心做好之后要求每个人去品尝其中一份，但是却不能品尝自己的，问一共有多少种不同的尝法？

A.15种 B.12种 C.9种 D.6种

针对这道排列组合题，我们若是从平常的思维来考虑，那么就可以想象成每一个小朋友将自己的标签贴在自己做的点心上，求全部贴错的概率，这里就会得到9种贴法。虽然这种方式也能解出正确答案，但是我们若是采用错位重排法，就可以将四个小朋友看成4个元素，从而直接选择C答案：9种。这样一来，可以大大地节省我们的做题时间。

2 关于捆绑法的运用

捆绑法是在解决排列组合问题中运用频率非常高的一种解题方法。通常情况下，若是题目中要求某某的位置必须相邻，那么一般就可以用捆绑法来进行解答。首先，我们可以将题目中要求相邻的元素看成一个整体，之后再与其他的元素进行排列。[2]当然，这两个元素内部的位置问题也需要考虑到。針对这个方法，我们来举一个例子：

现在有A、B、C、D、E五个人一起去爬华山，到达山顶之后，这五个人打算叫其他人帮忙拍个照合影留念。若是整体站成一列，A和B的位置要相邻，那么一共会有多少种方法？

从这道题目中的已知条件我们可以知道，A、B要相邻，那么就可以采用捆绑法来解决问题。首先，我们就将A和B捆绑在一起，将其看成一个元素。之后再将这个元素与其他剩下的三个人进行排列，这里一共有A（4，4）种排法。之后，我们再来看A和B的内部排序，一种有两种排法。因此，通过分布乘法原理我们就可以算出，这道题一共有A（4，4）×2=48种排法。

根据这道例题我们可以知道，在我们实际解题过程中，若是需要运用到捆绑法，那么就一定要注意到被捆绑元素中的内部顺序问题。一般来说，运用捆绑法解题的过程都是“先捆绑，后排列”的。

3 关于插空法的运用

在解答排列组合问题中，我们通常会遇到一些条件表示某某之间不能相邻，而对于这样的问题，我们就可以采用插空法来进行解答。通常情况下，运用插空法解答排列组合问题的时候，我们通常是先将其他没有限制性的元素进行排列，之后再将有限制性的元素插空放进去。[3]针对这个方法，我们来通过一个案例具体分析：

有12个小朋友一起排队玩老鹰捉小鸡，其中有8个小男孩和4个小女孩。要求小女孩之间不能挨着排，而且小女孩必须排在小男孩的中间，那么一共会有多少种排法？

针对这个例子，从题目中已知的条件我们就可以发现，这道题考查的就是不相邻的问题。因此，对于这样的问题，我们就可以采用插空法来进行解答。其中，小男孩的位置是没有限制的，所以我们可以先将这8个小男孩排列起来，一种有A（8，8）种排法，之后，我们再将这4个小女孩穿插到男孩之间的空位中，这里一共有7个空位，所以一种有A（4，7）种排法。所以说，在这道题中，就一共有A（8，8）A（4，7）种排法。

4 结束语：

有关排列组合的问题，看起来比较简单，但是实际上解起来也是比较复杂的，这种题型也是最容易犯错的题型。因此，对于不同的题型，我们需要掌握不同的解题方法，才能让我们用最快的速度解出最正确的答案。

参考文献：

[1]袁炜.应用插空法妙解排列组合问题[J].中学教学参考，2017（35）：21.

[2]戴建忠.解排列组合问题的十种常规技巧[J].新课程（下），2017（04）：72.

[3]王承超，向清耀.解排列组合题的若干技巧[J].高中生学习（试题研究），2016（Z1）：50-51.