强非线性杜芬系统的周期解及其分岔

王旭，李欣业，王振静，韩善凯

(河北工业大学 机械工程学院，天津 300130)

强非线性杜芬系统的周期解及其分岔

王旭，李欣业，王振静，韩善凯

(河北工业大学 机械工程学院，天津 300130)

基于广义谐波平衡法，求解了强非线性杜芬振子自由振动和简谐激励下受迫振动的周期-m解，并与数值解进行了比较，从而讨论非线性项的系数以及激励参数对系统周期解的影响.对自由振动而言，倍周期响应的周期是派生系统固有周期的整倍数；对受迫振动而言，倍周期响应的周期是外激励周期的整倍数.结果表明，为使近似解析谐波解与数值解比较接近，系统的非线性越强，所需的谐波项数越多；所设倍周期分岔解的周期越大，所需的项数也越多.

广义谐波平衡法；强非线性；杜芬系统；周期-m解

众所周知，在传统的求解非线性振动系统的各种近似解析方法中，谐波平衡法是概念最明了、使用最简便的，且不仅限于弱非线性系统[1-3]．也正因如此，许多学者将谐波平衡法与其他方法或理论相结合，提出了新的改进方法，使谐波平衡法的理论有了十分丰富的发展[4]．

1981年Lau和Cheung[5]最先将谐波平衡法与增量法结合，并将该方法称为增量谐波平衡法(IHB法)．Yuste[6]将谐波平衡法与雅可比椭圆函数结合起来，得到椭圆函数谐波平衡法．Huseyin等[7]提出了一种把谐波平衡法与多尺度法结合起来的内在的时间多尺度谐波平衡法来分析非线性周期振荡和分岔问题，在此基础上，Summers等[8]提出了双时间尺度谐波平衡法．

早在Lagrange时期，在确定行星运行轨道的演化规律时就提出了平均的概念，后经Krylov和Bogolyubov提出著名的KB变换后，逐步形成了具有严格数学理论基础的平均法[9]．Chow[10]首次在分岔问题中使用了平均法，研究了二维中心流Hopf分岔的稳定性交换公式．平均法经过徐兆和张佑启等多位学者的不断完善，逐步发展为广义平均法[11]．在此基础上又加入广义谐波函数的概念，通过这种处理平均法不但可以用于求弱非线性问题，对强非线性系统也同样适用．

广义谐波平衡法[12]综合了谐波平衡法和平均法的优势，既是谐波平衡法的发展，又是平均法的发展．本文将基于此法构造杜芬系统自由振动和受迫振动的近似解析周期解．由于篇幅限制，略去了对基于此法构造的周期解的稳定性分析．

1 广义谐波平衡法

考虑如下形式的运动微分方程

(1)

与谐波平衡法类似，设其解的形式如下:

(2)

当该方程为自治系统时，其基频Ω是对应的线性系统的固有频率.当该方程为非自治系统时，对应的是外激励周期的整数倍,与平均法类似，式(2)中的诸系数是时变的.对式(2)求二阶导数，可得

(3)

将式(3)代入方程(1),再利用三角函数的正交性可得

(4)

其中

式(4)又可以改写成如下一阶微分方程组的形式:

(5)

⋮

⋮

式(5)是用于确定近似解(2)的平均方程，若令z=(a0,b1,…,bn,c1,…,cn)T,又可写成如下形式:

(6)

与平均法类似，为求形如式(2)的稳态解，令各平均方程等号右边的表达式为零，可得到关于诸系数的2n+1个非线性代数方程组

(7)

一般地，式(7)可以通过Newton-Raphson方法进行数值求解.根据李雅普诺夫一次近似理论，可以通过求相应雅克比矩阵的特征值来判断解的稳定性．

2 杜芬系统自由振动的周期解

在不考虑阻尼的情况下，杜芬系统的自由振动微分方程可以表示为

(8)

相应的平均方程为

(9)

图1和图2分别表示在α、β取不同值时，x的近似解析解和数值解的时间历程曲线，其中图例xn表示数值解，xa表示近似解析解，下角标中的数字代表谐波项的项数．

图1 α=1,β=0.1时的时间历程Fig.1 Time history with α=1,β=0.1

图2 α=4,β=5时的时间历程Fig.2 Time history with α=4,β=5

图1表明，当非线性较弱时，用3项谐波的和作为近似解就能较好地与数值解吻合，继续增加谐波项的项数，对提高解的精度意义不大．图2表明，当系统的非线性较强时，由于派生系统的固有周期变小，用10项谐波的和作为近似解也能较好地与数值解吻合．所以在接下来讨论杜芬系统的受迫振动时，近似解是按至少包含10项谐波给出的．

3 杜芬系统受迫振动的周期解

在自由振动基础上，以杜芬系统的受迫振动为例，验证广义谐波平衡法对周期-m解的适用性．

3.1 周期-m解

杜芬系统的受迫振动微分方程可以表示为

(10)

设其解为

(11)

此时的平均方程为

n.

(12)

将式(12)简写成

(13)

g(m)(z(m))=06×1.

(14)

此时得到的平衡点即为近似解析解，即方程(10)中动力学系统的稳态解．

3.2 激励参数的影响

强非线性杜芬系统在作受迫振动时可能出现倍周期分岔的情况，以随外激励幅值和外激励频率变化而产生的倍周期分岔为例，对广义谐波平衡法求解周期-m解的适用性进行分析．

3.2.1 激励幅值的影响

图3和图4分别为μ=0.3,α=-1,β=1,Ω=1.2时，不同的F值对应的x的时间历程曲线．

图3 F=0.2时的时间历程Fig.3 Time history with F=0.2

图4 F=0.287时的时间历程Fig.4 Time history with F=0.287

与图3对比，图4表明系统的受迫振动响应周期为图3所示响应周期的2倍．

3.2.2 激励频率的影响

图5、6、7分别表示方程(9)中选取μ=0.25、α=-1、β=1、F=0.26时随Ω值的变化，响应出现倍周期分岔时，x的时间历程曲线．

图5—图7表明，随着外激励频率的减小，受迫振动响应出现了倍周期分岔，即响应周期倍增的现象.由于周期不断变大，所以近似解中的谐波项数越来越多，以期能与数值解有比较好地吻合．

图5 Ω=1.3时的时间历程Fig.5 Time history with Ω=1.3

图6 Ω=1.24时的时间历程Fig.6 Time history with Ω=1.24

图7 Ω=1.2时的时间历程Fig.7 Time history with Ω=1.2

4 讨论与结论

广义谐波平衡法结合了谐波平衡法和平均法的优点，即不仅可以进行解的稳定性分析，又适用于强非线性系统，亦适用于多自由度系统．本文利用此法求解强非线性杜芬系统的近似周期解时，仅考虑了倍周期分岔的情况，即对自由振动，仅考虑了周期为派生系统固有周期整倍数的情况，对受迫振动仅考虑了周期为外激励周期整倍数的情况．对于受迫振动而言，这种倍周期运动相当于亚谐振动．事实上，也可用此法求强非线性系统的超谐振动解，即解的周期为派生系统固有周期(对自由振动)或激励周期(对受迫振动)的几分之一倍的情况．本文的结果表明，不论是自由振动还是受迫振动，只要所需谐波项数足够多，基于此法构造的近似解析解都能很好地与数值解吻合．为使近似解析谐波解与数值解比较接近，则系统的非线性越强，所需的谐波项数越多；所设倍周期解的周期越大，所需的项数也越多．

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[2] 陈予恕.非线性振动、分岔和混沌理论及其应用[J].振动工程学报,1992,5(3): 235-250.DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.1992.03.009.

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(责任编辑：王兰英)

PeriodicsolutionsandtheirbifurcationofDuffingsystemwithstrongnon-linearity

WANGXu,LIXinye,WANGZhenjing,HANShankai

(School of Mechanical Engineering,Hebei University of Technology,Tianjin 300130,China)

Based on the generalized harmonic balance method,the period-m responses of free and forced Duffing oscillators are constructed and compared with numerical solutions from which the effects of nonlinear term and excitation parameters can be observed.For free vibrations,the response periods are assumed to be integer times of the natural period of the corresponding linear system and the excitation period respectively.It is shown that the number of harmonic terms should be large enough for both strongly nonlinear systems and period-doubling bifurcation solutions with large period so that the approximate analytic solutions are comparative to numerical results.

generalized harmonic balance method;strong non-linearity;Duffing systems;period-msolution

O322

A

1000-1565(2017)05-0457-07

10.3969/j.issn.1000-1565.2017.05.003

2017-03-27

河北省高层次人才资助项目(C201400309)

王旭(1990—)，男，河北保定人，河北工业大学在读硕士研究生．E-mail：1216380802@qq.com

李欣业(1966—)，男，河北迁安人，河北工业大学教授，主要从事复杂系统的动力学建模与分析和非线性动力学与控制研究．E-mail：xylihebut@163.com